设 X_1, X_2, ldots, X_n 是正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，overline(X) 和 S^2 是样本均值和样本方差，则下列选项错误的是(）.A. (overline(X)-mu)/(sigma/sqrt(n)) sim N(0,1)B. D(overline(X))= sigma^2C. E(S^2)= sigma^2D. E(overline(X))= mu

本题考查正态总体下样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$的性质，需掌握以下关键点：

1. 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$；
2. 样本方差的无偏性：$E(S^2) = \sigma^2$；
3. 标准化正态变量的构造：$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$；
4. 方差与期望的计算：需注意样本均值方差的分母为$n$，而非直接$\sigma^2$。

错误选项的关键在于混淆样本均值的方差公式。

选项分析

选项A

$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

• 正确性：样本均值$\overline{X}$服从$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后服从标准正态分布。
• 结论：正确。

选项B

$D(\overline{X}) = \sigma^2$

• 正确性：样本均值的方差应为$\frac{\sigma^2}{n}$，而非$\sigma^2$。
• 结论：错误。

选项C

$E(S^2) = \sigma^2$

• 正确性：样本方差$S^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计量，即$E(S^2) = \sigma^2$。
• 结论：正确。

选项D

$E(\overline{X}) = \mu$

• 正确性：样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计量，即$E(\overline{X}) = \mu$。
• 结论：正确。