[题目]-|||-设随机变量(X,Y )的协方差矩阵为-|||-=(} 4& -3 -3& 9 )-|||-求X和Y的相关系数ρx

考查要点：本题主要考查协方差矩阵与相关系数的关系，以及相关系数的计算公式。

解题核心思路：

1. 识别协方差矩阵中的方差和协方差：协方差矩阵的对角线元素分别为随机变量$X$和$Y$的方差$D(X)$和$D(Y)$，非对角线元素为协方差$\text{Cov}(X,Y)$。
2. 应用相关系数公式：相关系数$\rho_{XY}$的计算公式为$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}}$，需注意分母为标准差的乘积。

破题关键点：

• 正确提取矩阵中的数值：明确矩阵中各元素对应的意义。
• 代入公式时符号与运算顺序：确保分子为协方差，分母为标准差乘积，避免计算错误。

步骤1：提取协方差矩阵中的参数

• 方差$D(X) = 4$（矩阵左上角元素）
• 方差$D(Y) = 9$（矩阵右下角元素）
• 协方差$\text{Cov}(X,Y) = -3$（非对角线元素）

步骤2：计算标准差

• $X$的标准差$\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4} = 2$
• $Y$的标准差$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{9} = 3$

步骤3：代入相关系数公式
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{-3}{2 \times 3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$