[2016年] 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=( ).A. 6B. 8C. 14D. 15

考查要点：本题主要考查独立随机变量乘积的方差计算，需要结合方差的定义及独立变量的性质进行推导。

解题核心思路：

1. 方差的定义：$D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2$。
2. 独立变量的性质：若$X$与$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$，且$E(X^2Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$。
3. 方差与期望的关系：$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$，同理$E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2$。

破题关键点：

• 正确展开$D(XY)$的表达式。
• 利用独立性简化期望的计算。

已知条件：

• $X \sim N(1, 2)$，即$E(X) = 1$，$D(X) = 2$。
• $Y \sim N(1, 4)$，即$E(Y) = 1$，$D(Y) = 4$。
• $X$与$Y$独立。

计算步骤：

1. 计算$E(XY)$：
   $E(XY) = E(X) \cdot E(Y) = 1 \cdot 1 = 1.$

2. 计算$E(X^2)$和$E(Y^2)$：
   $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 2 + 1^2 = 3,$
   $E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2 = 4 + 1^2 = 5.$

3. 计算$E(X^2Y^2)$：
   $E(X^2Y^2) = E(X^2) \cdot E(Y^2) = 3 \cdot 5 = 15.$

4. 代入方差公式：
   $D(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2 = 15 - 1^2 = 14.$