例22 设Xsim N(mu_(1),sigma_(1)^2)，Ysim N(mu_(2),sigma_(2)^2)，且P|X-mu_{1)|P|Y-mu_{2)|A. sigma_(1)B. sigma_(1)>sigma_(2).C. mu_(1)D. mu_(1)>mu_(2).

本题考查正态分布的性质以及标准化变换的应用。解题的关键思路是利用正态分布的标准化公式，将给定的概率不等式转化为标准正态分布的形式，再根据标准正态分布的性质来比较两个正态分布的标准差大小。

步骤一：对$X$和$Y$进行标准化变换

已知$X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$），可得：
$\frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\sim N(0,1)$，$\frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\sim N(0,1)$。

步骤二：将概率不等式进行标准化

对于$P\{|X - \mu_{1}| \lt 1\}$，可变形为$P\{-\frac{1}{\sigma_{1}} \lt \frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}} \lt \frac{1}{\sigma_{1}}\}$；
对于$P\{|Y - \mu_{2}| \lt 1\}$，可变形为$P\{-\frac{1}{\sigma_{2}} \lt \frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} \lt \frac{1}{\sigma_{2}}\}$。
设$\varPhi(z)$为标准正态分布$N(0,1)$的分布函数，则$P\{-\frac{1}{\sigma_{1}} \lt \frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}} \lt \frac{1}{\sigma_{1}}\}=\varPhi(\frac{1}{\sigma_{1}}) - \varPhi(-\frac{1}{\sigma_{1}})$，$P\{-\frac{1}{\sigma_{2}} \lt \frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} \lt \frac{1}{\sigma_{2}}\}=\varPhi(\frac{1}{\sigma_{2}}) - \varPhi(-\frac{1}{\sigma_{2}})$。
因为标准正态分布的分布函数$\varPhi(z)$是关于$z = 0$对称的，即$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(\frac{1}{\sigma_{1}}) - \varPhi(-\frac{1}{\sigma_{1}})=2\varPhi(\frac{1}{\sigma_{1}}) - 1$，$\varPhi(\frac{1}{\sigma_{2}}) - \varPhi(-\frac{1}{\sigma_{2}})=2\varPhi(\frac{1}{\sigma_{2}}) - 1$。

步骤三：根据已知条件得到关于$\sigma_1$和$\sigma_2$的不等式

已知$P\{|X - \mu_{1}| \lt 1\} \gt P\{|Y - \mu_{2}| \lt 1\}$，即$2\varPhi(\frac{1}{\sigma_{1}}) - 1 \gt 2\varPhi(\frac{1}{\sigma_{2}}) - 1$，两边同时加$1$再除以$2$，可得$\varPhi(\frac{1}{\sigma_{1}}) \gt \varPhi(\frac{1}{\sigma_{2}})$。
又因为标准正态分布的分布函数$\varPhi(z)$是单调递增函数，所以$\frac{1}{\sigma_{1}} \gt \frac{1}{\sigma_{2}}$。

步骤四：求解$\sigma_1$和$\sigma_2$的大小关系

由于$\sigma_1\gt0$，$\sigma_2\gt0$，对$\frac{1}{\sigma_{1}} \gt \frac{1}{\sigma_{2}}$两边同时取倒数，不等号方向改变，可得$\sigma_{1} \lt \sigma_{2}$。