题目

假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格不能出厂。现该厂新生产了 n(n⩾2) 台仪器 ( 假设各台仪器的生产过程相互独立 ). 求： (1)全部能出厂的概率 α ； (2)其中恰好有两件不能出厂的概率 β ； (3)其中至少有两件不能出厂的概率 θ.

假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格不能出厂。现该厂新生产了 n(n⩾2) 台仪器 ( 假设各台仪器的生产过程相互独立 ). 求：

(1)全部能出厂的概率 α ；

(2)其中恰好有两件不能出厂的概率 β ；

(3)其中至少有两件不能出厂的概率 θ.

题目解答

答案

对于新生产的每台仪器，引进事件：

A={仪器需要进一步调试} ， B={仪器能出厂} ，则

A˙¯¯¯={仪器能直接出厂} ， AB={仪器经调试后能出厂}.

由条件知， B=A˙¯¯¯+AB

P(A)=0.3.P(B|A)=0.8

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3×0.8=0.24，

P(B)=P(A˙¯¯¯)+P(AB)=0.7+0.24=0.94，

设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X 作为 n 次独立试验成功 ( 仪器能出厂 ) 的次数，服从参数为 (n,0.94) 的二项分布，因此

α=PX=n=0.94n

β=PX=n−2=C2n0.94n−20.062

θ=P{X⩽n−2}=1−P{X=n−1}−P{X=n}=1−n×0.94n−1×0.06−0.94n

解析

步骤 1：定义事件
定义事件 A 为仪器需要进一步调试，事件 B 为仪器能出厂。则 A 的补事件 A˙¯¯¯ 为仪器能直接出厂，事件 AB 为仪器经调试后能出厂。
步骤 2：计算事件 B 的概率
根据题意，P(A) = 0.3，P(B|A) = 0.8。因此，P(AB) = P(A)P(B|A) = 0.3 × 0.8 = 0.24。事件 B 可以直接出厂或经调试后出厂，所以 P(B) = P(A˙¯¯¯) + P(AB) = 0.7 + 0.24 = 0.94。
步骤 3：计算全部能出厂的概率 α
设 X 为所生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X 服从参数为 (n, 0.94) 的二项分布。因此，全部能出厂的概率 α = P(X = n) = 0.94^n。
步骤 4：计算恰好有两件不能出厂的概率 β
恰好有两件不能出厂的概率 β = P(X = n - 2) = C(n, 2) × 0.94^(n-2) × 0.06^2。
步骤 5：计算至少有两件不能出厂的概率 θ
至少有两件不能出厂的概率 θ = P(X ≤ n - 2) = 1 - P(X = n - 1) - P(X = n) = 1 - n × 0.94^(n-1) × 0.06 - 0.94^n。