lim xln x=

本题考查极限$\lim_{x \to 0^+} x\ln x$的计算，核心是利用洛必达法则处理$0 \cdot \infty$型未定式。

步骤1：识别极限类型

当$x \to 0^+$时，$x \to 0$（无穷小量），$\ln x \to -\infty$（无穷大量），两者乘积为$0 \cdot \inftyinfty$型未定式，需转化为可直接用洛必达法则的$\frac{\inftyinfty}{\infty}$型或$\frac{0}{0}$型。

步骤2：转化为分式形式

将$x\ln x$改写为$\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$，此时当$x \to 0^+$，分子$\ln x \to -\infty$，分母$\frac{1}{x} \to +\infty$，属于$\frac{\infty}{\infty}$型，可应用洛必达法则。

步骤3：应用洛必达法则

对分子分母分别求导：

• 分子导数：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• 分母导数：$(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$

求导后分式变为$\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = -x$。

步骤4：计算极限

$\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$。