下列说法中正确的是 ①设随机变量X服从二项分布(6,dfrac (1)(2)),则(6,dfrac (1)(2)) ②已知随机变量X服从正态分布(6,dfrac (1)(2)) 且(6,dfrac (1)(2))则(6,dfrac (1)(2)) ③(6,dfrac (1)(2)) ④(6,dfrac (1)(2)) A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①③

考查要点：本题综合考查二项分布、正态分布、定积分几何意义及期望方差性质，需逐一分析四个命题的正确性。

解题思路：

1. 二项分布概率计算：利用二项分布公式验证①；
2. 正态分布对称性：通过标准化及对称性分析②；
3. 定积分几何意义：结合圆面积判断③；
4. 期望与方差性质：验证线性变换下的性质是否成立④。

破题关键：

• 二项分布公式：$P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$；
• 正态分布对称性：均值为对称中心，标准化后利用标准正态分布表；
• 积分与几何图形：$\int \sqrt{1-x^2}dx$对应四分之一圆面积；
• 方差性质：$D(aX+b)=a^2D(X)$。

① 二项分布概率计算

随机变量$X \sim B(6, \frac{1}{2})$，则：
$P(X=3) = C(6,3) \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{5}{16}$
结论：①正确。

② 正态分布对称性

$X \sim N(2, \sigma^2)$，由$P(X<4)=0.9$可知：

• $P(X>4)=0.1$，根据对称性，$P(X<0)=0.1$；
• $P(0

结论：②正确。

③ 定积分几何意义

$\int_{-1}^{0} \sqrt{1-x^2}dx$与$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx$均表示半径为1的四分之一圆面积，值为$\frac{\pi}{4}$。

结论：③正确。

④ 期望与方差性质

• $E(2X+3)=2E(X)+3$正确；
• $D(2X+3)=4D(X)$，而非$2D(X)+3$，故④错误。

结论：④错误。