题目

(真题)设lim_(xto1)(x^3+ax-2)/(x^2)-1=2，求a的值.

(真题)设$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+ax-2}{x^{2}-1}=2$，求a的值.

题目解答

答案

当 $x \to 1$ 时，分母 $x^2 - 1 \to 0$，为使极限存在且等于 2，分子 $x^3 + ax - 2$ 在 $x = 1$ 处也应趋于 0。
将 $x = 1$ 代入分子，得：
$1^3 + a \cdot 1 - 2 = a - 1$
由极限存在条件，$a - 1 = 0$，解得 $a = 1$。

答案： $a = 1$

解析

本题考查极限存在的条件以及多项式极限的计算。解题的关键思路是：当分母的极限为$0$时，若整个分式的极限存在，则分子的极限也必须为$0$，由此可先确定$a$的一个可能值，再代入原式验证极限是否为$2$。

  1. 根据极限存在条件确定$a$的值：
    已知$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+ax - 2}{x^{2}-1}=2$，当$x\to1$时，分母$x^{2}-1\to1^{2}-1 = 0$。
    因为分式的极限存在且为$2$，所以分子$x^{3}+ax - 2$在$x\to1$时极限也必须为$0$，否则极限为无穷大，不存在。
    将$x = 1$代入分子$x^{3}+ax - 2$，可得$1^{3}+a\times1 - 2$，即$1 + a - 2=a - 1$。
    令$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。
  2. 验证$a = 1$时极限是否为$2$：
    当$a = 1$时，原式变为$\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+x - 2}{x^{2}-1}$。
    对分子$x^{3}+x - 2$进行因式分解，$x^{3}+x - 2=x^{3}-1+x - 1=(x - 1)(x^{2}+x + 1)+(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 2)$。
    对分母$x^{2}-1$进行因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
    则原式可化为$\lim_{x\to1}\frac{(x - 1)(x^{2}+x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}$，约去公因式$x - 1$（因为$x\to1$，$x\neq1$，所以可以约去），得到$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x + 2}{x + 1}$。
    将$x = 1$代入$\frac{x^{2}+x + 2}{x + 1}$，可得$\frac{1^{2}+1 + 2}{1 + 1}=\frac{4}{2}=2$，满足已知条件。