题目

5. 将f(x)=(1)/(2-x-x^2)展开为麦克劳林级数.

5. 将$f(x)=\frac{1}{2-x-x^{2}}$展开为麦克劳林级数.

题目解答

答案

将 $ f(x) = \frac{1}{2 - x - x^2} $ 进行部分分式分解： $$ f(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x + 2} \right) $$ 分别展开为幂级数： $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1 $$ $$ \frac{1}{x + 2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n, \quad |x| < 2 $$ 合并得： $$ f(x) = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left( 1 + \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \right) x^n, \quad |x| < 1 $$ **答案：** $$ \boxed{\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \right) x^n, \quad |x| < 1} $$

解析

考查要点：本题主要考查部分分式分解和幂级数展开的方法，要求将有理函数展开为麦克劳林级数。

解题核心思路：

  1. 分解分母：将二次分母分解为一次因式的乘积，便于后续展开。
  2. 部分分式分解：将原函数拆分为简单分式的线性组合。
  3. 分别展开：利用几何级数公式分别展开每个简单分式。
  4. 合并结果：将各部分展开式合并，并确定收敛域。

破题关键点：

  • 正确分解分母：将二次多项式分解为$(1-x)(x+2)$。
  • 几何级数的应用：注意分式变形为$\frac{1}{1 \pm \text{表达式}}$的形式，并确定收敛域。

步骤1：分解分母

原函数分母为$2 - x - x^2$，整理为：
$2 - x - x^2 = -(x^2 + x - 2) = -(x+2)(x-1) = (1-x)(x+2).$

步骤2：部分分式分解

设$\frac{1}{2 - x - x^2} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{x+2}$，解得：
$A = \frac{1}{3}, \quad B = \frac{1}{3}.$
因此：
$f(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1-x} + \frac{1}{x+2} \right).$

步骤3：展开为幂级数

  1. 第一项展开：$\frac{1}{1-x}$是标准几何级数：
    $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad |x| < 1.$
  2. 第二项展开：将$\frac{1}{x+2}$变形为$\frac{1}{2(1 + \frac{x}{2})}$，展开为：
    $\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left( -\frac{x}{2} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n, \quad |x| < 2.$

步骤4：合并结果

将两部分合并并乘以$\frac{1}{3}$：
$f(x) = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left( 1 + \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \right) x^n.$
收敛域为两个级数收敛域的交集，即$|x| < 1$。