4.(单选题，18.8分) f(z)=overline(z)在z=0处（）.A. （A）解析；B. （B）可导；C. （C）不连续；D. （D）连续.

考查要点：本题主要考查复变函数在某一点的连续性、可导性及解析性的判断，需结合共轭函数的特性进行分析。

解题核心思路：

1. 连续性：通过极限是否存在且等于函数值判断；
2. 可导性：利用导数定义，沿不同路径趋近于0，验证极限是否存在；
3. 解析性：若某点不可导，则在其邻域内无法满足解析条件。

破题关键点：

• 共轭函数的特性：$f(z)=\overline{z}$在复平面上仅在实轴方向可能满足某些性质；
• 路径依赖性：计算导数时，若沿不同路径极限不同，则导数不存在。

连续性分析

当$z \to 0$时，$f(z)=\overline{z} \to 0$，且$f(0)=0$，因此：
$\lim_{z \to 0} f(z) = f(0)$
结论：函数在$z=0$处连续。

可导性分析

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{z \to 0} \frac{f(z)-f(0)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{\overline{z}}{z}$
将$z=x+yi$代入，得：
$\frac{\overline{z}}{z} = \frac{x-yi}{x+yi} = \frac{x^2 - y^2 + 2xyi}{x^2 + y^2}$

• 沿实轴趋近（$y=0$）：极限为$\frac{x}{x}=1$；
• 沿虚轴趋近（$x=0$）：极限为$\frac{-yi}{yi}=-1$。

结论：极限值依赖于路径，导数不存在，故不可导。

解析性分析

解析要求在点及其邻域内可导，因$z=0$处不可导，故不解析。