题目
14 填空 (2分) 若随机变量X_(1),...,X_(n)相互独立，且X_(i)sim U(-3,3)，则(1)/(sqrt(3n))sum_(i=1)^nX_(i)近似服从分布____.
14 填空 (2分) 若随机变量$X_{1},\cdots,X_{n}$相互独立，且$X_{i}\sim U(-3,3)$，则$\frac{1}{\sqrt{3n}}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$近似服从分布____.
题目解答
答案
由题意，$X_i \sim U(-3, 3)$，则
\[ E(X_i) = 0, \quad D(X_i) = 3. \]
根据中心极限定理，当 $n$ 充分大时，
\[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - nE(X_i)}{\sqrt{nD(X_i)}} \approx N(0, 1). \]
代入期望和方差，得
\[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{3n}} \approx N(0, 1). \]
因此，$\frac{1}{\sqrt{3n}} \sum_{i=1}^n X_i$ 近似服从 $\boxed{N(0, 1)}$。
解析
本题考查均匀分布的期望与方差计算以及中心极限定理的应用。解题思路如下：
- 首先，根据均匀分布的期望和方差公式，计算出随机变量$XX_i$的期望$E(X_i)$和方差$D(X)$。
- 对于均匀分布$U(a(a,b)$，其期望公式为$1)\(E(X)=\frac{a + b}{2}$，方差公式为(2)$D(X)=\frac{(b - a)^2)}{12}$。
- 已知$X_i\sim U(-3,3)$，将$a = - 3$，$b = 3$代入上述公式：
- 计算期望$E(X_i)$：
根据公式(1)可得：$E(X_i)=\frac{-3 + 3}{2}=0$。 - 计算方差$D(X_i)$
根据公式(2)可得：$D(X_i)=\frac{(3 - (-3))^2}{12}{12}=\frac{6^2}{12}=\frac{36}{12}=3$。
- 计算期望$E(X_i)$：
- 然后，然后，依据中心极限定理。
- 中心极限定理表明：若随机变量$X_1,\cdots,X_n$相互独立同分布，且具有期望$E(X_i)=\mu$和方差$D(X_i)=\sigma^2$（$i = 1,\cdots,n$），则当$n$充分大时，$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
- 在本题中，$\mu = E(X_i)=0$，$\sigma^2 = D(X_i)=3$，则$\sigma=\sqrt{3}$。
- 将$\mu = 0$，$\sigma=\sqrt{3}$代入中心极限定理的表达式$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$中，可得：
$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i - n\times0}{\sqrt{n}\times\sqrt{sqrt{3}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i}{\sqrt{3n}}$。 - 所以$\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i}{\sqrt{3n}}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，即$\frac{1}{\sqrt{3n}}\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从$N(0,1)$。