题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu 与 sigma^2 未知，待检验假设为 H_0: mu geq mu_0 Leftrightarrow H_1: mu A. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n)) B. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n)) C. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n)) D. (overline(X) - mu_0)/(S/sqrt(n))

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 未知，待检验假设为 $H_0: \mu \geq \mu_0 \Leftrightarrow H_1: \mu < \mu_0$，则在显著性水平 $\alpha$ 之下，$H_0$ 的拒绝域为..

A. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n)$

B. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1)$

C. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha/2}(n)$

D. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha/2}(n-1)$

题目解答

答案

B. $\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1)$

解析

考查要点：本题主要考查单侧t检验的拒绝域形式，涉及自由度的确定及临界值的选择。

解题核心思路：

  1. 识别检验类型：题目为左侧检验（$H_1: \mu < \mu_0$），需关注t分布的左侧临界值。
  2. 确定统计量形式：总体方差未知时，使用t统计量，其形式为$\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$。
  3. 自由度与临界值：t分布的自由度为$n-1$，左侧检验的临界值为$-t_{\alpha}(n-1)$。

破题关键点：

  • 自由度：样本方差$S^2$的自由度为$n-1$，因此t统计量的自由度也是$n-1$。
  • 单侧检验：左侧检验直接使用$\alpha$，而非$\alpha/2$（双侧检验时需用$\alpha/2$）。

步骤1：构造t统计量

由于总体方差$\sigma^2$未知，采用样本方差$S^2$估计，构造t统计量：
$T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$
其中，$\overline{X}$为样本均值，$S$为样本标准差，自由度为$n-1$。

步骤2：确定拒绝域形式

左侧检验的拒绝域为：
$T < -t_{\alpha}(n-1)$
其中，$t_{\alpha}(n-1)$表示自由度为$n-1$的t分布的$\alpha$分位数。

步骤3：匹配选项

  • 选项B的表达式$\frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} < -t_{\alpha}(n-1)$完全符合上述推导。
  • 错误选项排除：
    • A：自由度错误（应为$n-1$）。
    • C、D：误用$\alpha/2$（适用于双侧检验）。