题目
3.设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布，而商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则降价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元.为使商店所获利润的期望值不少于9280元，试确定最少进货量.
3.设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布，而商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则降价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元.为使商店所获利润的期望值不少于9280元，试确定最少进货量.
题目解答
答案
设进货量为 $ n $，需求量 $ X $ 服从 $[10, 30]$ 上的均匀分布。利润函数为：
- 当 $ n > X $ 时，利润为 $ 600X - 100n $；
- 当 $ n < X $ 时，利润为 $ 300X + 200n $。
期望利润 $ E(P) $ 为：
\[ E(P) = \frac{1}{20} \left[ \int_{10}^{n} (600x - 100n) \, dx + \int_{n}^{30} (300x + 200n) \, dx \right]. \]
计算积分并化简得：
\[ E(P) = -7.5n^2 + 350n + 5250. \]
令 $ E(P) \geq 9280 $，解二次不等式：
\[ -7.5n^2 + 350n - 4030 \geq 0. \]
解得 $ n \geq 21 $，故最少进货量为 $\boxed{21}$。
解析
步骤 1：定义变量和利润函数
设进货量为 $ n $，需求量 $ X $ 服从 $[10, 30]$ 上的均匀分布。利润函数为： - 当 $ n > X $ 时，利润为 $ 600X - 100n $； - 当 $ n < X $ 时，利润为 $ 300X + 200n $。
步骤 2：计算期望利润
期望利润 $ E(P) $ 为： \[ E(P) = \frac{1}{20} \left[ \int_{10}^{n} (600x - 100n) \, dx + \int_{n}^{30} (300x + 200n) \, dx \right]. \] 计算积分并化简得： \[ E(P) = -7.5n^2 + 350n + 5250. \]
步骤 3：求解不等式
令 $ E(P) \geq 9280 $，解二次不等式： \[ -7.5n^2 + 350n - 4030 \geq 0. \] 解得 $ n \geq 21 $，故最少进货量为 $\boxed{21}$。
设进货量为 $ n $，需求量 $ X $ 服从 $[10, 30]$ 上的均匀分布。利润函数为： - 当 $ n > X $ 时，利润为 $ 600X - 100n $； - 当 $ n < X $ 时，利润为 $ 300X + 200n $。
步骤 2：计算期望利润
期望利润 $ E(P) $ 为： \[ E(P) = \frac{1}{20} \left[ \int_{10}^{n} (600x - 100n) \, dx + \int_{n}^{30} (300x + 200n) \, dx \right]. \] 计算积分并化简得： \[ E(P) = -7.5n^2 + 350n + 5250. \]
步骤 3：求解不等式
令 $ E(P) \geq 9280 $，解二次不等式： \[ -7.5n^2 + 350n - 4030 \geq 0. \] 解得 $ n \geq 21 $，故最少进货量为 $\boxed{21}$。