题目

7.为了解某种犬类疫苗注射后是否会使得犬的体温升高,随机选择9只狗,记录它们注射疫苗-|||-前、后的体温(单位:。C):-|||-编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9-|||-注射前体温 37.5 37.7 38.1 37.9 38.3 38.5 38.1 37.6 38.4-|||-注射后体温 37.7 38.0 38.2 37.9 38.2 38.8 38.0 37.5 38.8-|||-设注射疫苗前、后体温差服从正态分布,问是否可以认为注射疫苗后狗的体温有显著升高-|||-(alpha =0.05) ?

题目解答

答案

解析

本题考查考查配对样本的t检验，用于判断注射疫苗前后狗的体温是否有显著升高。解题思路如下：

  1. 提出假设：**
    • 原假设 $H_0$：注射疫苗前后体温差的均值 $\mu_d \leq 0$，即注射疫苗后狗的体温没有显著升高。
    • 备择假设 $H_1$：注射疫苗前后体温差的均值 $\mu_d > 0$，即注射疫苗后狗的体温有显著升高。
  2. 计算体温差：
    对于每只狗，计算注射疫苗前后的体温差 $d_i = x_{i2}-x_{i1}$，其中 \(x_{i1} 是注射前体温，x_{i2} 是注射后体温。 - $d_1=37.7 - 3.75=-0.2$
    • $d_2=3.8 - 3.77 = = 0.03$
    • $d_3=3.82 - 3.81=0.01$
    • $d_4=3.79 - 3.79 = 0$
    • $d_5=3.82 - 3.83=-0.01$
    • $d_6=3.88 - 3.85 = 0.03$
    • $d_7=3.8 - 3.81=-0.01$
    • $d_8=3.75 - 3.76=-0.01$
    • $d_9=3.88 - 3.84 = 0.04$
  3. 计算体温差的均值 $\bar{d}$ 和 $s_d$：
    • 体温差的均值 $\bar{d}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}d_i}{n}$
      $\sum_{i = 1}^{9}d_i=-0.2 + + 0.03+0.01+0 - 0.01+0.03-0.01-0.01 + 0.04=0.08$
      $\bar{d}=\frac{0.08}{9}\approx0.0089$
    • 体温差的标准差 $s_d=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(d_i-\bar{d})^2}{n - 1}}$
      $\sum_{i = 1}^{9}(d_i-\bar{d})^2=(-0.2 - 0.0089)^2+(0.03 - 0.0089)^2+(0.01 - 0.0089)^2+(0 - 0.0089)^2+(-0.01 - 0.0089)^2+(0.03 - 0.0089)^2+(-0.01 - 0.0089)^2+(-0.01 - 0.0089)^2+(0.04 - 0.0089)^2$
      $\sum_{i = 1}^{9}(d_i-\bar{d})^2\approx0.0423$
      $s_d=\sqrt{\frac{0.0423}{9 - 1}}=\sqrt{\frac{0.0423}{8}}\approx0.0727$
  4. 计算t检验统计量：
    $t=\frac{\bar{d}-0}{s_d/\sqrt{n}}=\frac{0.0089}{0.0727/\sqrt{9}}=\frac{0.0089}{0.0727/3}\approx0.37$
  5. 确定临界值：
    自由度 $df=n - 1=9 - 1 = = 8$，给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，查t分布表得单侧临界值 $t_{\alpha}(df)=t_{0.05}(8)=1.860$。
  6. 做出决策：
    因为计算得到的t统计量 $t = 0.37