设随机变量 Z sim U[-pi, pi]，又有 X = cos Z，Y = sin Z，则下列结论中正确的是A. X和Y不相关B. X和Y相关C. X和Y相互独立D. X和Y的关系无法判断

本题考查随机变量的相关性与独立性的判断，核心思路是通过计算协方差判断是否相关，并结合变量间的函数关系判断独立性。
关键点：

1. 协方差为零时，变量不相关；
2. 存在确定性关系（如$X^2 + Y^2 = 1$）时，变量不独立。

步骤1：计算期望值

• $E[X]$：
  $E[X] = E[\cos Z] = \int_{-\pi}^{\pi} \cos z \cdot \frac{1}{2\pi} \, dz = 0$
  （$\cos z$在对称区间$[-\pi, \pi]$上的积分为零）

• $E[Y]$：
  $E[Y] = E[\sin Z] = \int_{-\pi}^{\pi} \sin z \cdot \frac{1}{2\pi} \, dz = 0$
  （$\sin z$是奇函数，对称区间积分结果为零）

步骤2：计算协方差

• $E[XY]$：
  $E[XY] = E[\cos Z \sin Z] = \int_{-\pi}^{\pi} \cos z \sin z \cdot \frac{1}{2\pi} \, dz = 0$
  （$\cos z \sin z$是奇函数，积分结果为零）

• 协方差：
  $\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 \cdot 0 = 0$
  因此，$X$和$Y$不相关。

步骤3：判断独立性

由$X = \cos Z$和$Y = \sin Z$可知：
$X^2 + Y^2 = \cos^2 Z + \sin^2 Z = 1$
$X$和$Y$的取值被限制在单位圆上，存在确定性关系，因此不独立。