题目
某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数,利用中心极限定理估算索赔户不少于14户且不大于30户的概率是().(2.5)=0.9938, (1.5)=0.9332)A. 0.8664B. 0.9876C. 0.927D. 0.0506
某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数,利用中心极限定理估算索赔户不少于14户且不大于30户的概率是().(2.5)=0.9938, (1.5)=0.9332)
A. 0.8664
B. 0.9876
C. 0.927
D. 0.0506
题目解答
答案
C. 0.927
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
根据题意，X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。由于每个索赔户是否被盗索赔是独立的，且概率为20%，因此X服从二项分布，即X~B(100, 0.2)。
步骤 2：利用中心极限定理近似计算
由于n=100较大，p=0.2，np=20，n(1-p)=80，均大于5，可以使用中心极限定理将二项分布近似为正态分布。因此，X近似服从正态分布N(20, 16)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算P(14 ≤ X ≤ 30)。首先，将X标准化为标准正态分布Z，即Z = (X - μ) / σ，其中μ = 20，σ = √16 = 4。
P(14 ≤ X ≤ 30) = P((14 - 20) / 4 ≤ Z ≤ (30 - 20) / 4) = P(-1.5 ≤ Z ≤ 2.5)。
根据标准正态分布表，P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，P(Z ≤ -1.5) = 1 - P(Z ≤ 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668。
因此，P(-1.5 ≤ Z ≤ 2.5) = P(Z ≤ 2.5) - P(Z ≤ -1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927。
根据题意，X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。由于每个索赔户是否被盗索赔是独立的，且概率为20%，因此X服从二项分布，即X~B(100, 0.2)。
步骤 2：利用中心极限定理近似计算
由于n=100较大，p=0.2，np=20，n(1-p)=80，均大于5，可以使用中心极限定理将二项分布近似为正态分布。因此，X近似服从正态分布N(20, 16)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算P(14 ≤ X ≤ 30)。首先，将X标准化为标准正态分布Z，即Z = (X - μ) / σ，其中μ = 20，σ = √16 = 4。
P(14 ≤ X ≤ 30) = P((14 - 20) / 4 ≤ Z ≤ (30 - 20) / 4) = P(-1.5 ≤ Z ≤ 2.5)。
根据标准正态分布表，P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，P(Z ≤ -1.5) = 1 - P(Z ≤ 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668。
因此，P(-1.5 ≤ Z ≤ 2.5) = P(Z ≤ 2.5) - P(Z ≤ -1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927。