设随机变量X的概率密度为f(x)=} cx, & 0 leq x leq 1 0, & (其他) ;(0.5分) (4) 分布函数F(x). (0.5分)

本题主要考查概率密度函数的性质、概率的计算、分布函数的性质以及分布函数的求解。解题思路如下：

1. 求常数$c$：
   • 根据概率密度函数的性质，对于随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$，有$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$。
   • 已知$f(x)=\begin{cases} cx, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx=\int_{0}^{1} cx \, dx$。
   • 计算定积分$\int_{0}^{1} cx \, dx$，根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{1} cx \, dx = c\int_{0}^{1} x \, dx = c\times[\frac{1}{2}x^2]_0^1 = c\times(\frac{1}{2}\times1^2 - \frac{1}{2}\times0^2)=\frac{c}{2}$。
   • 因为$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$，所以$\frac{c}{2} = 1$，解得$c = 2$。
2. 求$P\{-0.3 < X < 0.7\}$：
   • 由概率的计算公式$P\{a < X < b\} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$，已知$c = 2$，则$f(x)=\begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
   • 所以$P\{-0.3 < X < 0.7\} = \int_{-0.3}^{0.7} f(x) \, dx$，因为当$x < 0$时，$f(x) = 0$，所以$\int_{-0.3}^{0.7} f(x) \, dx=\int_{0}^{0.7} 2x \, dx$。
   • 计算定积分$\int_{0}^{0.7} 2x \, dx = 2\int_{0}^{0.7} x \, dx = 2\times[\frac{1}{2}x^2]_0^{0.7} = 2\times(\frac{1}{2}\times0.7^2 - \frac{1}{2}\times0^2)= 0.7^2 = 0.49$。
3. 求常数$a$，使$P\{X > a\} = P\{X < a\}$：
   • 因为$P\{X > a\} + P\{X < a\} = 1$，且$P\{X > a\} = P\{X < a\}$，所以$P\{X < a\} = \frac{1}{2}$。
   • 而$P\{X < a\} = F(a)$，即$F(a) = \frac{1}{2}$。
   • 先求分布函数$F(x)$，当$0\leq x\leq1$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} 2t \, dt = [t^2]_0^x = x^2$。
   • 所以$F(a) = a^2 = \frac{1}{2}$，解得$a = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，又因为$0\leq a\leq1$，所以$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 求分布函数$F(x)$：
   • 分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$，需要分情况讨论：
     • 当$x < 0$时，$f(t) = 0$，则$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = 0$。
     • 当$0\leq x\leq1$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} 2t \, dt = [t^2]_0^x = x^2$。
     • 当$x > 1$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt=\int_{0}^{1} 2t \, dt + \int_{1}^{x} 0 \, dt = [t^2]_0^1 + 0 = 1$。
   • 综上，$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$。