题目
45、设x_(1),x_(2),...,x_(n)是正态总体N(mu,sigma^2)的一个样本，sigma^2是已知参数，mu是未知参数，记overline(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)，函数Phi(x)表示标准正态分布N(0,1)的分布函数，Phi(1.96)=0.975，Phi(1.28)=0.900，则mu的置信水平为0.95的置信区间为（）。A.(overline(x)-0.975(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+0.975(sigma)/(sqrt(n)))B.(overline(x)-1.96(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+1.96(sigma)/(sqrt(n)))C.(overline(x)-1.28(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+1.28(sigma)/(sqrt(n)))D.(overline(x)-0.90(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+0.90(sigma)/(sqrt(n)))
45、设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$\sigma^{2}$是已知参数，$\mu$是未知参数，记$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，函数$\Phi(x)$表示标准正态分布$N(0,1)$的分布函数，$\Phi(1.96)=0.975$，$\Phi(1.28)=0.900$，则$\mu$的置信水平为0.95的置信区间为（）。
A.$(\overline{x}-0.975\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+0.975\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
B.$(\overline{x}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
C.$(\overline{x}-1.28\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+1.28\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
D.$(\overline{x}-0.90\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+0.90\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
题目解答
答案
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知。样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，则 $\bar{x} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
对于置信水平为 0.95，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
由标准正态分布表，$\Phi(1.96) = 0.975$，即 $z_{0.025} = 1.96$。
$\mu$ 的置信区间为：
$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = \left( \bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
答案： $\boxed{B}$