题目

45、设x_(1),x_(2),...,x_(n)是正态总体N(mu,sigma^2)的一个样本，sigma^2是已知参数，mu是未知参数，记overline(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)，函数Phi(x)表示标准正态分布N(0,1)的分布函数，Phi(1.96)=0.975，Phi(1.28)=0.900，则mu的置信水平为0.95的置信区间为（）。A.(overline(x)-0.975(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+0.975(sigma)/(sqrt(n)))B.(overline(x)-1.96(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+1.96(sigma)/(sqrt(n)))C.(overline(x)-1.28(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+1.28(sigma)/(sqrt(n)))D.(overline(x)-0.90(sigma)/(sqrt(n)),overline(x)+0.90(sigma)/(sqrt(n)))

45、设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$\sigma^{2}$是已知参数，$\mu$是未知参数，记$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，函数$\Phi(x)$表示标准正态分布$N(0,1)$的分布函数，$\Phi(1.96)=0.975$，$\Phi(1.28)=0.900$，则$\mu$的置信水平为0.95的置信区间为（）。 A.$(\overline{x}-0.975\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+0.975\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ B.$(\overline{x}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ C.$(\overline{x}-1.28\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+1.28\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ D.$(\overline{x}-0.90\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+0.90\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

题目解答

答案

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知。样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，则 $\bar{x} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
对于置信水平为 0.95，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。
由标准正态分布表，$\Phi(1.96) = 0.975$，即 $z_{0.025} = 1.96$。
$\mu$ 的置信区间为：
$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = \left( \bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$
答案： $\boxed{B}$

解析

本题考查正态总体均值在方差已知情况下的置信区间的求解。解题思路如下：

  1. 首先明确样本均值的分布：已知$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，根据正态分布的性质，样本均值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
  2. 然后对样本均值进行标准化：令$Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，由于$\overline{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，所以$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
  3. 接着根据置信水平确定$z$值：已知置信水平为$0.95$，则$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$。我们需要找到$z_{\frac{\alpha}{2}}$，使得$P\{ -z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{\frac{\alpha}{2}}\}=0.95$。
  4. 最后求解$\mu$的置信区间：对不等式$-z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{\frac{\alpha}{2}}$进行变形求解$\mu$的范围。
    • 由$-z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$可得：$-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\overline{x}-\mu$，即$\mu<\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 由$\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{\frac{\alpha}{2}}$可得：$\overline{x}-\mu<z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，即$\mu>\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
    • 所以$\mu$的置信区间为$(\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。
    • 已知$\Phi(1.96) = 0.975$，根据标准正态分布的性质，$z_{0.025}=1.96$，将$z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$代入置信区间公式，可得$\mu$的置信水平为$0.95$的置信区间为$(\overline{x}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。