由方程 y = sin(x + y) 确定的隐函数的导数 (dy)/(dx) = （ ）。A. (cos(x + y))/(1 + cos(x + y))B. (cos(x + y))/(1 - cos(x + y))C. (sin(x + y))/(1 - sin(x + y))D. (sin(x + y))/(1 + sin(x + y))

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是对方程两边同时关于$x$求导，然后通过移项、合并同类项等操作，解出$\frac{dy}{dx}$。

已知方程$y = \sin(x + y)$，等式两边同时对$x$求导：

• 等式左边$y$对$x$求导，根据求导的基本规则，可得$\frac{dy}{dx}$。
• 等式右边$\sin(x + y)$对$x$求导，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = x + y$，则$\sin(x + y)$可看作$\sin u$与$u = x + y$的复合函数。
  • 先对$\sin u$关于$u$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$(\sin u)^\prime=\cos u$。
  • 再对$u = x + y$关于$x$求导，可得$\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$。
  • 根据复合函数求导法则，$\frac{d}{dx}\sin(x + y)=\cos(x + y)\cdot(1 + \frac{dy}{dx})$。

此时方程变为$\frac{dy}{dx}=\cos(x + y)\cdot(1 + \frac{dy}{dx})$，接下来求解$\frac{dy}{dx}$：

• 展开等式右边可得$\frac{dy}{dx}=\cos(x + y)+\cos(x + y)\cdot\frac{dy}{dx}$。
• 移项，将含有$\frac{dy}{dx}$的项移到等式左边，可得$\frac{dy}{dx}-\cos(x + y)\cdot\frac{dy}{dx}=\cos(x + y)$。
• 提取公因式$\frac{dy}{dx}$，得到$\frac{dy}{dx}(1 - \cos(x + y))=\cos(x + y)$。
• 两边同时除以$(1 - \cos(x + y))$，解得$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(x + y)}{1 - \cos(x + y)}$。