设 X_1, X_2, ..., X_n 为正态总体 N(mu, sigma^2) 的一个样本（其中 mu 已知），则总体方差 sigma^2 的置信度为 1-alpha 的置信区间为(），其中 chi^2_alpha(n) 是自由度为 n 的卡方分布的上alpha分位点. A. ((sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(alpha/2)(n)), (sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(1-alpha/2)(n)))B. ((sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(alpha/2)(n-1)), (sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(1-alpha/2)(n-1)))C. ((sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(alpha)(n)), (sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(1-alpha)(n)))D. ((sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(alpha)(n-1)), (sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2)/(chi^2_(1-alpha)(n-1)))

考查要点：本题主要考查正态总体方差的置信区间构造方法，重点在于利用卡方分布的分位点进行区间估计。

解题核心思路：

1. 统计量构造：当总体均值 $\mu$ 已知时，统计量 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^2(n)$。
2. 分位点应用：根据置信度 $1-\alpha$，利用卡方分布的上分位点 $\chi^2_{\alpha/2}(n)$ 和下分位点 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n)$ 构建不等式。
3. 区间变形：通过代数变形将不等式转化为关于 $\sigma^2$ 的表达式，得到置信区间。

破题关键点：

• 分位点定义：题目明确 $\chi^2_\alpha(n)$ 是上 $\alpha$ 分位点，需注意分位点的对应关系。
• 自由度确定：$\mu$ 已知时自由度为 $n$，若未知则为 $n-1$，本题自由度为 $n$。

统计量与分布

当 $\mu$ 已知时，统计量：
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$

置信区间构建

设置信度为 $1-\alpha$，根据卡方分布的分位点定义：
$P\left( \chi^2_{1-\alpha/2}(n) \leq \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{\alpha/2}(n) \right) = 1-\alpha$

代数变形

将不等式变形为关于 $\sigma^2$ 的表达式：

1. 取倒数并反转不等号：
   $\frac{1}{\chi^2_{\alpha/2}(n)} \geq \frac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2} \geq \frac{1}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}$
2. 乘以 $\sum (X_i - \mu)^2$：
   $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)} \leq \sigma^2 \leq \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}$

选项分析

• 选项A：分母为 $\chi^2_{\alpha/2}(n)$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n)$，自由度为 $n$，正确。
• 选项B：自由度为 $n-1$，适用于 $\mu$ 未知的情况，错误。
• 选项C/D：分位点参数错误（未使用 $\alpha/2$），导致置信度不匹配，错误。