题目
4.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自参数为λ的指数分布的样本，试求E(bar(X))和D(bar(X)).
4.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自参数为λ的指数分布的样本，试求$E(\bar{X})$和$D(\bar{X})$.
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布样本，每个 $X_i$ 的期望和方差分别为：
\[
E(X_i) = \frac{1}{\lambda}, \quad D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}
\]
样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，利用期望和方差的性质：
\[
E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}
\]
\[
D(\bar{X}) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n \lambda^2}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
E(\bar{X}) = \frac{1}{\lambda}, \quad D(\bar{X}) = \frac{1}{n \lambda^2}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的期望与方差，以及样本均值的期望与方差的计算方法。
解题核心思路：
- 指数分布的基本性质：明确指数分布参数λ对应的期望和方差公式。
- 期望与方差的线性性质：利用期望的线性性直接计算样本均值的期望；利用方差的性质（独立样本时方差可加）计算样本均值的方差。
破题关键点：
- 独立性假设：题目中样本默认独立同分布，因此计算方差时各变量的协方差为0。
- 系数处理：样本均值中的系数$\frac{1}{n}$在方差计算中需平方处理。
步骤1：确定单个样本的期望与方差
指数分布参数为λ时，单个样本$X_i$的期望和方差为：
$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}, \quad D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$
步骤2：计算样本均值的期望
样本均值$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，根据期望的线性性：
$E(\bar{X}) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$
步骤3：计算样本均值的方差
由于样本独立，方差可加：
$D(\bar{X}) = D\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \left( \frac{1}{n} \right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n \lambda^2}$