题目

设总体服从参数 100 发生率为 0.8 的二项分布为从该总体中得到的样本和分别是样本均值与样本方差则= ( )。

设总体 $X$ 服从参数 100 发生率为 0.8 的二项分布 $X_1,X_2,\dots,X_{100}$ 为从该总体中得到的样本 $X$ 和 $s^2$ 分别是样本均值与样本方差则 $E(S^2)$ = ( )。

$A.16$

$B.0.8$

$C.0.2$

$D.20$

题目解答

答案

根据样本方差的公式可知： $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$ 将样本均值带入，得到： $S^2=\frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^nX_i^2-n\overline{X}^2]$

对于二项分布，有 $X_i\sim B(1,0.8)$ $E(X_i)=0.8$ $Var(X_i)=0.16$ 因此：

$\begin{aligned} E(S^2) &= E[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2] \ \\&= E[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i^2 - 2X_i\bar{X} + \bar{X}^2)] \ \\&= \frac{1}{n-1} [E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2) - 2E(\bar{X}\sum_{i=1}^{n}X_i) + E(\bar{X}^2\sum_{i=1}^{n}1)] \ \\&= \frac{1}{n-1} [E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2) - 2nE(\bar{X})^2 + nE(\bar{X}^2)] \ \\&= \frac{1}{n-1} [0.8n - 1.6n + n(\frac{0.16}{n}+0.64)] \ \\&= \frac{0.16}{n-1} + 0.64 \end{aligned}$

因此， $E(S^2)=\frac{0.16}{99}+0.64\approx0.6566$ 近似为 $0.66$ ，故正确选项 $\text{B }.0.8$

设总体服从参 数 100 发生率为 0.8 的二项分布 为从该总体中得到的样本 和 分 别是样本均值与样本方差则= ( )。

题目解答

答案

设总体服从参数 100 发生率为 0.8 的二项分布为从该总体中得到的样本和分别是样本均值与样本方差则= ( )。