设函数 y_1 = e^x, y_2 = e^-x, y_3 = x + e^x 都是二阶非齐次线性微分方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 的解, c_1, c_2 是任意常数,则该方程的通解是:A. y_1 = c_1e^x + c_2e^-x + xB. y = c_1(x + e^x)+ c_2e^-x + e^-xC. y = c_1(x + e^x)+ c_2e^x + e^-xD. y = c_1x + c_2(e^x - e^-x)+ e^x

步骤 1：确定齐次方程的解
- 由于 $y_1 = e^x$ 和 $y_2 = e^{-x}$ 是非齐次方程的解，它们的差 $y_1 - y_2 = e^x - e^{-x}$ 是齐次方程的解。
- 另外，$y_3 = x + e^x$ 也是非齐次方程的解，它与 $y_1$ 的差 $y_3 - y_1 = x$ 也是齐次方程的解。
步骤 2：确定齐次方程的通解
- 齐次方程的通解由其线性独立的解的线性组合构成，因此齐次方程的通解为 $y_h = c_1 x + c_2 (e^x - e^{-x})$。
步骤 3：确定非齐次方程的通解
- 非齐次方程的通解由齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解构成。由于 $y_1 = e^x$ 是非齐次方程的解，可以取 $y_p = e^x$ 作为特解。
- 因此，非齐次方程的通解为 $y = y_h + y_p = c_1 x + c_2 (e^x - e^{-x}) + e^x$。