题目
9.设f(x^2-z,y^2-z)=0，其中f(x,y)可微，证明：y(partial z)/(partial x)+x(partial z)/(partial y)=2xy.
9.设$f(x^{2}-z,y^{2}-z)=0$，其中$f(x,y)$可微，证明：$y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=2xy$.
题目解答
答案
对等式 $f(x^2 - z, y^2 - z) = 0$ 求偏导：
1. 对 $x$ 求导：
\[
f_1' \left(2x - \frac{\partial z}{\partial x}\right) - f_2' \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'}
\]
2. 对 $y$ 求导：
\[
-f_1' \frac{\partial z}{\partial y} + f_2' \left(2y - \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'}
\]
3. 计算目标表达式：
\[
y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y \cdot \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'} + x \cdot \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'} = \frac{2xy (f_1' + f_2')}{f_1' + f_2'} = 2xy
\]
**答案：**
\[
\boxed{y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = 2xy}
\]
解析
步骤 1：对 $x$ 求偏导
对等式 $f(x^2 - z, y^2 - z) = 0$ 关于 $x$ 求偏导，得到：
\[ f_1' \left(2x - \frac{\partial z}{\partial x}\right) - f_2' \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]
其中 $f_1'$ 和 $f_2'$ 分别是 $f$ 关于第一个和第二个变量的偏导数。整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'} \]
步骤 2：对 $y$ 求偏导
对等式 $f(x^2 - z, y^2 - z) = 0$ 关于 $y$ 求偏导，得到：
\[ -f_1' \frac{\partial z}{\partial y} + f_2' \left(2y - \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'} \]
步骤 3：计算目标表达式
将 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式代入目标表达式 $y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}$ 中，得到：
\[ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y \cdot \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'} + x \cdot \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'} = \frac{2xy (f_1' + f_2')}{f_1' + f_2'} = 2xy \]
对等式 $f(x^2 - z, y^2 - z) = 0$ 关于 $x$ 求偏导，得到：
\[ f_1' \left(2x - \frac{\partial z}{\partial x}\right) - f_2' \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \]
其中 $f_1'$ 和 $f_2'$ 分别是 $f$ 关于第一个和第二个变量的偏导数。整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'} \]
步骤 2：对 $y$ 求偏导
对等式 $f(x^2 - z, y^2 - z) = 0$ 关于 $y$ 求偏导，得到：
\[ -f_1' \frac{\partial z}{\partial y} + f_2' \left(2y - \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0 \]
整理得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'} \]
步骤 3：计算目标表达式
将 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式代入目标表达式 $y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}$ 中，得到：
\[ y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = y \cdot \frac{2x f_1'}{f_1' + f_2'} + x \cdot \frac{2y f_2'}{f_1' + f_2'} = \frac{2xy (f_1' + f_2')}{f_1' + f_2'} = 2xy \]