题目
设总体sim N(0,1)，sim N(0,1)是一个样本，试求随机变量sim N(0,1)的分布
设总体
，
是一个样本，试求随机变量
的分布
题目解答
答案
若
，且X,Y相互独立，则
。本题
，则根据正态分布标准化，
。又卡方分布
为n个标准正态分布的平方和，因此
，因此
解析
步骤 1：标准化正态分布
由于$X_1$和$X_2$都是来自$N(0,1)$的独立样本，因此$X_1-X_2$的分布为$N(0,2)$。为了标准化，我们有$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
步骤 2：卡方分布
由于$X_1$和$X_2$都是来自$N(0,1)$的独立样本，因此$X_1^2$和$X_2^2$的分布为$\chi^2(1)$。因此，$X_1^2+X_2^2$的分布为$\chi^2(2)$。
步骤 3：t分布
根据t分布的定义，如果$X\sim N(0,1)$且$Y\sim \chi^2(n)$，且$X$和$Y$相互独立，则$\dfrac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。因此，$\dfrac{\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_1^2+X_2^2}{2}}}\sim t(2)$。简化后得到$Y=\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{X_1^2+X_2^2}}\sim t(2)$。
由于$X_1$和$X_2$都是来自$N(0,1)$的独立样本，因此$X_1-X_2$的分布为$N(0,2)$。为了标准化，我们有$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
步骤 2：卡方分布
由于$X_1$和$X_2$都是来自$N(0,1)$的独立样本，因此$X_1^2$和$X_2^2$的分布为$\chi^2(1)$。因此，$X_1^2+X_2^2$的分布为$\chi^2(2)$。
步骤 3：t分布
根据t分布的定义，如果$X\sim N(0,1)$且$Y\sim \chi^2(n)$，且$X$和$Y$相互独立，则$\dfrac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。因此，$\dfrac{\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_1^2+X_2^2}{2}}}\sim t(2)$。简化后得到$Y=\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{X_1^2+X_2^2}}\sim t(2)$。