lim_(n to infty) sum_(i=1)^n (i)/(n^2) sin^2 (pi i)/(n) = ( ).A. (1)/(2)B. (pi)/(2)C. (pi)/(4)D. (1)/(4)

本题考查利用定积分的定义来计算极限。解题的关键思路是将所给的和式极限转化为定积分的形式，然后通过计算定积分得出结果。

1. 首先，回顾定积分的定义：
   设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，在$[a,b]$中任意插入若干个分点$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b$，把区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i - 1},x_i]$，其长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$，在每个小区间$[x_{i - 1},x_i]$上任取一点$\xi_i$，作和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，记$\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$，如果当$\lambda\to0$时，和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$的极限存在，且与区间$[a,b]$的分法及$\xi_i$的取法无关，则称这个极限为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，即$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$。
   对于区间$[0,1]$进行$n$等分，$\Delta x=\frac{1 - 0}{n}=\frac{1}{n}$，$x_i = 0 + i\Delta x=\frac{i}{n}$，$\xi_i=x_i=\frac{i}{n}$。
2. 然后，对所给极限进行变形：
   已知$\lim_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{i}{n^2}\sin^2\frac{\pi i}{n}$，可将其变形为$\lim_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)\sin^2\left(\pi\frac{i}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$。
   令$f(x)=x\sin^2(\pi x)$，$x\in[0,1]$，则$\lim_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)\sin^2\left(\pi\frac{i}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\int_{0}^{1}x\sin^2(\pi x)dx$。
3. 接着，利用三角函数公式化简被积函数：
   因为$\sin^2\alpha=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$，所以$\sin^2(\pi x)=\frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}$。
   则$\int_{0}^{1}x\sin^2(\pi x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot\frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\cos(2\pi x)dx$。
4. 分别计算两个定积分：
   • 计算$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x dx$：
     根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}\times\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{4}$。
   • 计算$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\cos(2\pi x)dx$：
     利用分部积分法$\int_{a}^{b}u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v du$，令$u = x$，$dv=\cos(2\pi x)dx$。
     则$du = dx$，$v=\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)$。
     所以$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\cos(2\pi x)dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x}{2\pi}\sin(2\pi x)\big|_0^1-\int_{0}^{1}\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)dx\right]$。
     对于$\frac{x}{2\pi}\sin(2\pi x)\big|_0^1$，将$x = 1$和$x = 0$代入可得$\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi)-\frac{0}{2\pi}\sin(0)=0$。
     对于$\int_{0}^{1}\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)dx$，令$t = 2\pi x$，$dt = 2\pi dx$，当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = 1$时，$t = 2\pi$，则$\int_{0}^{1}\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)dx=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt$。
     因为$\int\sin tdt=-\cos t + C$，所以$\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt=\frac{1}{(2\pi)^2}[-\cos t]_0^{2\pi}=\frac{1}{(2\pi)^2}[-\cos(2\pi)+\cos(0)] = 0$。
     所以$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\cos(2\pi x)dx = 0$。
5. 最后，得出结果：
   $\int_{0}^{1}x\sin^2(\pi x)dx=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{i}{n^2}\sin^2\frac{\pi i}{n}=\frac{1}{4}$。