1.判断下列各命题是否正确.-|||-(1)已知(X,Y)的联合分布,必可求出边缘分布与条件分布.-|||-(2)已知(X,Y)的两个边缘分布与两个条件分布,必可求出(X,Y)联合分布.-|||-(3)已知 sim N((M)_(1),({O)_(1)}^2),Ysim N((M)_(2),({O)_(2)}^2), 则(X,Y)服从二维正态分布.-|||-(4)已知 sim N((mu )_(1),({sigma )_(1)}^2) sim N((mu )_(2),({sigma )_(2)}^2), 则 X+Y 仍服从正态分布.

题目考察知识

本题主要考察概率论中随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布以及正态分布的性质，需逐一判断各命题的正确性。

各命题详细分析

(1) 已知$(X,Y)$的联合分布，必可求出边缘分布与条件分布

思路：边缘分布是联合分布的“边缘汇总”，条件分布是联合分布在某变量固定下的分布，均由联合分布唯一确定。

• 边缘分布：对离散型，$P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)$；对连续型，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\text{d}y$，显然由联合分布可直接计算。
• 条件分布：对离散型，$P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}$（需$P(X=x_i)>0$）；对连续型，$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$（需$f_X(x)>0$），也由联合分布唯一确定。
  结论：正确（√）。

(2) 已知$(X,Y)$的两个边缘分布与两个条件分布，必可求出联合分布

思路：联合分布可由边缘分布与条件分布相乘得到，因条件分布定义为$P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(X=x_i)}$，变形得$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j|X=x_i)$，同理也可由$P(Y=y_j)P(X=x_i|Y=y_j)$计算，结果一致。
结论：正确（√）。

(3) 已知$X\sim N(M_1,O_1^2)$，$Y\sim N(M_2,O_2^2)$，则$(X,Y)$服从二维正态分布

思路：二维正态分布的两个边缘分布必为正态分布，但反之不真——两个独立正态变量的联合分布是二维正态，但不独立的正态变量联合分布未必是二维正态。例如，设$X\sim N(0,1)$，$Y=X^2$（$Y\sim \chi^2(1)$，非正态），但若$Y=-X$（$Y\sim N(0,1)$），则$(X,Y)$的联合分布密度为$f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$（因$y=-x$，雅可比行列式为1），但此分布并非二维正态（二维正态密度需含$xy$项）。
结论：错误（×）。

(4) 已知$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$X+Y$仍服从正态分布

思路：正态变量的线性组合在独立或不独立时均服从正态分布？不，若$X$与$Y$不独立，需联合分布为二维正态才能保证$X+Y$正态。例如，设$X\sim N(0,1)$，$Y=X+Z$，其中$Z\sim N(0,1)$且与$X$独立，则$Y\sim N(0,2)$，$X+Y=2X+Z\sim N(0,5)$（正态）；但若$Y=-X$（$Y\sim N(0,1)$），$X+Y=0$（退化分布，非正态随机变量）。题目未说明$X$与$Y$的关系，仅边缘正态不能保证$X+Y$正态。
结论：错误（×）。