题目
有甲乙两袋，甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有4个白球，2个黑球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取出的是白球的概率.
有甲乙两袋，甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有4个白球，2个黑球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取出的是白球的概率.
题目解答
答案
假设从甲袋中取出的是两个黑球，则从乙袋中取出的是白球的概率为
（这里
中的
代表从甲袋中的3个黑球取出2个黑球的取法，
代表从甲袋中出2个球的取法，
代表从乙袋（此时有6+2=8个球）中取出白球（4个白球）的概率）
假设从甲袋中取出的是一个黑球一个白球，则从乙袋中取出的是白球的概率为
（这里
中的
代表从甲袋中的3个黑球取出1个黑球的取法，
代表从甲袋中的2个白球取出1个白球的取法，代表从甲袋中出2个球的取法，
代表从乙袋（此时有6+2=8个球）中取出白球（4+1=5个白球）的概率）
假设从甲袋中取出的是两个白球，则从乙袋中取出的是白球的概率为
（这里
中的
代表从甲袋中的2个白球取出2个白球的取法，代表从甲袋中出2个球的取法，
代表从乙袋（此时有6+2=8个球）中取出白球（4+2=6个白球）的概率）
所以从乙袋中取出的是白球的概率为
解析
步骤 1：计算从甲袋中取出两个黑球的概率
从甲袋中取出两个黑球的取法有${C}_{3}^{2}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出两个黑球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有4个白球和4个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {4}{8}$。因此，从甲袋中取出两个黑球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{1}=\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {4}{8}=\dfrac {3}{20}$。
步骤 2：计算从甲袋中取出一个黑球一个白球的概率
从甲袋中取出一个黑球一个白球的取法有${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出一个黑球一个白球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有5个白球和3个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {5}{8}$。因此，从甲袋中取出一个黑球一个白球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{2}=\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {5}{8}=\dfrac {3}{8}$。
步骤 3：计算从甲袋中取出两个白球的概率
从甲袋中取出两个白球的取法有${C}_{2}^{2}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出两个白球的概率为$\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有6个白球和2个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {6}{8}$。因此，从甲袋中取出两个白球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{3}=\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {6}{8}=\dfrac {3}{40}$。
步骤 4：计算从乙袋中取出白球的总概率
从乙袋中取出白球的总概率为${P}_{1}+{P}_{2}+{P}_{3}=\dfrac {3}{20}+\dfrac {3}{8}+\dfrac {3}{40}=\dfrac {3}{5}$。
从甲袋中取出两个黑球的取法有${C}_{3}^{2}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出两个黑球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有4个白球和4个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {4}{8}$。因此，从甲袋中取出两个黑球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{1}=\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {4}{8}=\dfrac {3}{20}$。
步骤 2：计算从甲袋中取出一个黑球一个白球的概率
从甲袋中取出一个黑球一个白球的取法有${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出一个黑球一个白球的概率为$\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有5个白球和3个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {5}{8}$。因此，从甲袋中取出一个黑球一个白球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{2}=\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {5}{8}=\dfrac {3}{8}$。
步骤 3：计算从甲袋中取出两个白球的概率
从甲袋中取出两个白球的取法有${C}_{2}^{2}$种，从甲袋中取出两个球的取法有${C}_{5}^{2}$种，因此从甲袋中取出两个白球的概率为$\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$。此时乙袋中有6个白球和2个黑球，从乙袋中取出白球的概率为$\dfrac {6}{8}$。因此，从甲袋中取出两个白球，再从乙袋中取出白球的概率为${P}_{3}=\dfrac {{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}\times \dfrac {6}{8}=\dfrac {3}{40}$。
步骤 4：计算从乙袋中取出白球的总概率
从乙袋中取出白球的总概率为${P}_{1}+{P}_{2}+{P}_{3}=\dfrac {3}{20}+\dfrac {3}{8}+\dfrac {3}{40}=\dfrac {3}{5}$。