题目
9.设X_(1)，X_(2)， ... ，X_(n)是来自正态总体N(μ,1)的一个简单随机样本，overline(X)，S^2分别为样本均值与样本方差，则 A. overline(X) sim N(0,1)B. sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2 sim chi^2(n-1)C. sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2 sim chi^2(n-1)D. (overline(X))/(S/sqrt(n-1)) sim t(n-1)
9.设$X_{1}$，$X_{2}$，$ \cdots $，$X_{n}$是来自正态总体N(μ,1)的一个简单随机样本，$\overline{X}$，$S^{2}$分别为样本均值与样本方差，则
A. $\overline{X} \sim N(0,1)$
B. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$
C. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$
D. $\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n-1}} \sim t(n-1)$
题目解答
答案
B. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$
解析
步骤 1：分析选项A
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时服从 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 除以总体方差（本题中总体方差为1）后服从 $\chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$ 除以总体方差后服从 $\chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，分母中应为 $\sqrt{n}$，因此选项D不正确。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)$，仅当 $\mu=0$ 且 $n=1$ 时服从 $N(0,1)$，因此选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 除以总体方差（本题中总体方差为1）后服从 $\chi^2(n-1)$，因此选项B正确。
步骤 3：分析选项C
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)^2$ 除以总体方差后服从 $\chi^2(n)$，自由度为 $n$，因此选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，分母中应为 $\sqrt{n}$，因此选项D不正确。