1.若lim_(xto a)f(x)=infty,lim_(xto a)g(x)=infty,则必有（）A. lim_(xto a)[f(x)+g(x)]=inftyB. lim_(xto a)[f(x)-g(x)]=0C. lim_(xto a)(1)/(f(x)+g(x))=0D. lim_(xto a)kf(x)=infty(kneq0)

本题考查函数极限的性质，特别是无穷大极限的相关性质。解题的关键在于理解无穷大极限的定义，并根据不同选项的特点进行分析判断。

选项A

已知$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$，$\lim_{x\to a}g(x)=\infty$。
根据无穷大极限的定义，对于任意给定的正数$M_1$，存在正数$\delta_1$，当$0\lt|x - a|\lt\delta_1$时，有$|f(x)|\gt M_1$；对于任意给定的正数$M_2$，存在正数$\delta_2$，当$0\lt|x - a|\lt\delta_2$时，有$|g(x)|\gt M_2$。
取$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，当$0\lt|x - a|\lt\delta$时，$|f(x)+g(x)|\geq|f(x)| - |g(x)|$。
不妨设$f(x)$和$g(x)$在$x\to a$时都趋于正无穷（若趋于负无穷，分析方法类似），则$f(x)+g(x)\gt M_1 + M_2$。
对于任意给定的正数$M$，我们可以取$M_1 = M_2=\frac{M}{2}$，那么当$0\lt|x - a|\lt\delta$时，$f(x)+g(x)\gt M$，所以$\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\infty$，选项A正确。

选项B

可通过举反例来判断。
设$f(x)=\frac{1}{(x - a)^2}$，$g(x)=\frac{1}{(x - a)^2}$，当$x\to a$时，$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$，$\lim_{x\to a}g(x)=\infty$。
但$f(x)-g(x)=\frac{1}{(x - a)^2}-\frac{1}{(x - a)^2}=0$，所以$\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] = 0$不成立，选项B错误。

选项C

由选项A可知$\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\infty$。
根据无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，若$\lim_{x\to x_0}F(x)=\infty$，则$\lim_{x\to x_0}\frac{1}{F(x)} = 0$。
所以$\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)+g(x)}=0$，选项C正确。

选项D

当$k\gt0$时，对于任意给定的正数$M$，因为$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$，所以存在正数$\delta$，当$0\lt|x - a|\lt\delta$时，有$|f(x)|\gt\frac{M}{k}$，则$|kf(x)|\gt M$，即$\lim_{x\to a}kf(x)=\infty$。
当$k\lt0$时，对于任意给定的正数$M$，因为$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$，所以存在正数$\delta$，当$0\lt|x - a|\lt\delta$时，有$|f(x)|\gt\frac{M}{|k|}$，则$|kf(x)| = |k|\cdot|f(x)|\gt M$，此时$\lim_{x\to a}kf(x)=-\infty$，也属于无穷大的范畴。
所以$\lim_{x\to a}kf(x)=\infty(k\neq0)$，选项D正确。