题目
再问一道概率题 螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是50克,标准差是5克,求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过5100克的概率.
再问一道概率题 螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是50克,标准差是5克,求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过5100克的概率.
题目解答
答案
回答： 用中心极限定理来做. (1) 用“同分布的中心极限定理”,有 z = (5100-100x50)/[(√100)x50] = 2.0. 查正态分布表,得1-0.9772 = 0.0228.
解析
步骤 1：定义随机变量
设每个螺丝钉的重量为随机变量 \(X_i\)，其中 \(i=1,2,...,100\)。已知 \(E(X_i) = 50\) 克，\(Var(X_i) = 5^2 = 25\) 克^2。
步骤 2：求总重量的期望和方差
一盒100个螺丝钉的总重量为 \(S = X_1 + X_2 + ... + X_{100}\)。根据期望和方差的性质，有：
- \(E(S) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_{100}) = 100 \times 50 = 5000\) 克
- \(Var(S) = Var(X_1) + Var(X_2) + ... + Var(X_{100}) = 100 \times 25 = 2500\) 克^2
- \(SD(S) = \sqrt{Var(S)} = \sqrt{2500} = 50\) 克
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，总重量 \(S\) 的分布近似于正态分布 \(N(5000, 2500)\)。要计算 \(S\) 超过5100克的概率，即 \(P(S > 5100)\)。
步骤 4：标准化并查表
将 \(S\) 标准化为标准正态分布 \(Z\)，有：
\[Z = \frac{S - E(S)}{SD(S)} = \frac{5100 - 5000}{50} = 2\]
查标准正态分布表，得 \(P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228\)
设每个螺丝钉的重量为随机变量 \(X_i\)，其中 \(i=1,2,...,100\)。已知 \(E(X_i) = 50\) 克，\(Var(X_i) = 5^2 = 25\) 克^2。
步骤 2：求总重量的期望和方差
一盒100个螺丝钉的总重量为 \(S = X_1 + X_2 + ... + X_{100}\)。根据期望和方差的性质，有：
- \(E(S) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_{100}) = 100 \times 50 = 5000\) 克
- \(Var(S) = Var(X_1) + Var(X_2) + ... + Var(X_{100}) = 100 \times 25 = 2500\) 克^2
- \(SD(S) = \sqrt{Var(S)} = \sqrt{2500} = 50\) 克
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，总重量 \(S\) 的分布近似于正态分布 \(N(5000, 2500)\)。要计算 \(S\) 超过5100克的概率，即 \(P(S > 5100)\)。
步骤 4：标准化并查表
将 \(S\) 标准化为标准正态分布 \(Z\)，有：
\[Z = \frac{S - E(S)}{SD(S)} = \frac{5100 - 5000}{50} = 2\]
查标准正态分布表，得 \(P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228\)