题目
设总体 sim N(0,(1)^2),-|||-样本 ((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4))-|||-当 =[ ] =[ ] ]-|||-]-|||-=a(({X)_(1)+(X)_(2))}^2+b(({X)_(3)-3(X)_(4))}^2-|||-sim (chi )^2(n)-|||-=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本的分布
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态分布 $N(0,1)$ 的样本，因此它们相互独立且均服从 $N(0,1)$。
步骤 2：计算线性组合的分布
根据正态分布的线性组合性质，$X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$，$X_3 - 3X_4$ 服从 $N(0,10)$。这是因为方差的线性组合为 $Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) = 1 + 1 = 2$，$Var(X_3 - 3X_4) = Var(X_3) + 9Var(X_4) = 1 + 9 = 10$。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
为了使 $Y = a(X_1 + X_2)^2 + b(X_3 - 3X_4)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，我们需要 $a(X_1 + X_2)^2$ 和 $b(X_3 - 3X_4)^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$a$ 和 $b$ 应该满足 $a \cdot 2 = 1$ 和 $b \cdot 10 = 1$，从而得到 $a = \frac{1}{2}$ 和 $b = \frac{1}{10}$。
步骤 4：确定自由度
由于 $Y$ 是两个独立的 $\chi^2(1)$ 分布的和，因此 $Y$ 服从 $\chi^2(2)$ 分布，即 $n = 2$。
由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态分布 $N(0,1)$ 的样本，因此它们相互独立且均服从 $N(0,1)$。
步骤 2：计算线性组合的分布
根据正态分布的线性组合性质，$X_1 + X_2$ 服从 $N(0,2)$，$X_3 - 3X_4$ 服从 $N(0,10)$。这是因为方差的线性组合为 $Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) = 1 + 1 = 2$，$Var(X_3 - 3X_4) = Var(X_3) + 9Var(X_4) = 1 + 9 = 10$。
步骤 3：确定 $Y$ 的分布
为了使 $Y = a(X_1 + X_2)^2 + b(X_3 - 3X_4)^2$ 服从 $\chi^2(n)$ 分布，我们需要 $a(X_1 + X_2)^2$ 和 $b(X_3 - 3X_4)^2$ 分别服从 $\chi^2(1)$ 分布。因此，$a$ 和 $b$ 应该满足 $a \cdot 2 = 1$ 和 $b \cdot 10 = 1$，从而得到 $a = \frac{1}{2}$ 和 $b = \frac{1}{10}$。
步骤 4：确定自由度
由于 $Y$ 是两个独立的 $\chi^2(1)$ 分布的和，因此 $Y$ 服从 $\chi^2(2)$ 分布，即 $n = 2$。