11、求极限lim_(x to infty)((2x+1)/(2x-2))^x.12、求极限lim_(x to 4)(x-4)/(sqrt(x-3)-1).13、求极限lim_(x to 0)(e^x^2-1)/(cos 2x-1).14、函数f(x)=} (2-x)^(1)/(x-1), & x<1 a, & xgeq1 在x=1上连续，求a的值.

我们依次来解这四个极限题目，并给出详细的解题过程。

题目 11：求极限

$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2x+1}{2x-2}\right)^x$

解题思路：

我们先观察这个极限的形式：
$\left(\frac{2x+1}{2x-2}\right)^x$
当 $x \to \infty$ 时，分子和分母都趋于无穷大，但我们可以将其写成：
$\frac{2x+1}{2x-2} = 1 + \frac{3}{2x - 2}$
于是：
$\left(\frac{2x+1}{2x-2}\right)^x = \left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^x$
我们考虑将指数部分拆分，使它更接近标准极限形式：
$\left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^x = \left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^{x} = \left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^{\frac{2x - 2}{3} \cdot \frac{3x}{2x - 2}}$
令：
$\left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^{\frac{2x - 2}{3}} \to e \quad \text{（标准极限形式）}$
所以整个表达式变为：
$\left(1 + \frac{3}{2x - 2}\right)^x \to e^{\frac{3x}{2x - 2}} \to e^{\frac{3}{2}} \quad \text{（当 } x \to \infty \text{ 时）}$

答案：

$\boxed{e^{\frac{3}{2}}}$

题目 12：求极限

$\lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

解题思路：

这是一个典型的有理化问题。分子是 $x - 4$，分母是 $\sqrt{x - 3} - 1$。我们可以通过有理化分母来简化。

先对分母进行有理化：
$\frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x - 3} + 1}{\sqrt{x - 3} + 1} = \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{x - 3 - 1} = \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{x - 4}$
注意：$x - 4$ 可以约去，但要确保 $x \ne 4$，这在极限中是允许的。

所以：
$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(\sqrt{x - 3} + 1)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x - 3} + 1)$
当 $x \to 4$ 时，$\sqrt{x - 3} \to \sqrt{1} = 1$，所以：
$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x - 3} + 1) = 1 + 1 = 2$

答案：

$\boxed{2}$

题目 13：求极限

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\cos 2x - 1}$

解题思路：

这是一个 $0/0$ 型的极限，可以考虑使用泰勒展开或洛必达法则。

我们使用泰勒展开法：

• $e^{x^2} \approx 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \cdots$
• $\cos 2x \approx 1 - 2x^2 + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{16x^4}{24} + \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + \cdots$

所以：
$e^{x^2} - 1 \approx x^2 + \frac{x^4}{2}$
$\cos 2x - 1 \approx -2x^2 + \frac{2x^4}{3}$

代入极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{\cos 2x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^4}{2}}{-2x^2 + \frac{2x^4}{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x^2}{2}}{-2 + \frac{2x^2}{3}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

答案：

$\boxed{-\frac{1}{2}}$

题目 14：函数

$f(x)=\begin{cases} (2-x)^{\frac{1}{x-1}}, & x<1 \\ a, & x\geq1 \end{cases}$
在 $x=1$ 上连续，求 $a$ 的值。

解题思路：

函数在 $x = 1$ 处连续，意味着：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = a$

我们计算左极限：
$\lim_{x \to 1^-} (2 - x)^{\frac{1}{x - 1}}$

令 $x = 1 - t$，当 $x \to 1^-$，$t \to 0^+$，则：
$(2 - x)^{\frac{1}{x - 1}} = (2 - (1 - t))^{\frac{1}{(1 - t) - 1}} = (1 + t)^{\frac{1}{-t}} = \left(1 + t\right)^{-1/t}$

我们知道：
$\lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} = e \Rightarrow \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{-1/t} = \frac{1}{e}$

所以：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{e}$

因此，为了函数在 $x = 1$ 处连续，必须有：
$a = \frac{1}{e}$

答案：

$\boxed{\frac{1}{e}}$

总结答案：

• 第11题：$\boxed{e^{\frac{3}{2}}}$
• 第12题：$\boxed{2}$
• 第13题：$\boxed{-\frac{1}{2}}$
• 第14题：$\boxed{\frac{1}{e}}$