【真题】(2022数二)设p为常数，若反常积分int_(0)^1(ln x)/(x^p)(1-x)^(1-p)dx收敛，则p的取值范围是（） (A.)(-1,1). (B.)(-1,2). (C.)(-∞,1). (D.)(-∞,2). 【答案】(A).

考查要点：本题主要考查反常积分的收敛性判断，需分别分析积分区间端点$x=0$和$x=1$处的奇点对积分收敛性的影响。

解题核心思路：

1. 拆分积分区间：将积分拆分为靠近$x=0$和$x=1$的两部分，分别判断收敛性。
2. 近似处理被积函数：在$x=0$附近，忽略$(1-x)^{1-p}$的影响，近似为$\frac{\ln x}{x^p}$；在$x=1$附近，将$\ln x$近似为$-(1-x)$，近似为$\frac{-(1-x)}{(1-x)^{1-p}}$。
3. 幂函数积分判别法：通过比较被积函数与$x^k$或$(1-x)^k$的收敛性，确定参数$p$的范围。

破题关键点：

• $x=0$处：要求$p < 1$，否则积分发散。
• $x=1$处：要求$p > -1$，否则积分发散。
• 综合结果：需同时满足$p < 1$和$p > -1$，即$p \in (-1, 1)$。

分析$x=0$附近的行为

当$x \to 0^+$时，$(1-x)^{1-p} \approx 1$，被积函数近似为$\frac{\ln x}{x^p}$。
考虑积分$\int_{0}^{c} \frac{\ln x}{x^p} \, dx$（$c$为接近$0$的正数）。

• 当$p < 1$时：$\int x^{-(p)} \ln x \, dx$收敛（因$x^{1-p} \ln x \to 0$）。
• 当$p \geq 1$时：$\frac{\ln x}{x^p}$在$x=0$附近发散。

分析$x=1$附近的行为

当$x \to 1^-$时，$\ln x \approx -(1-x)$，被积函数近似为$\frac{-(1-x)}{(1-x)^{1-p}} = -(1-x)^{p}$。
考虑积分$\int_{1-\epsilon}^{1} (1-x)^{p} \, dx$（$\epsilon$为接近$0$的正数）。

• 当$p > -1$时：$\int (1-x)^{p} \, dx$收敛（因$p+1 > 0$）。
• 当$p \leq -1$时：积分发散。

综合结果

需同时满足$p < 1$和$p > -1$，故$p \in (-1, 1)$。