题目

8、设X_(1),X_(2)... X_(n)是来自总体N(mu,sigma^2)的样本，overline(X),S^2分别是样本均值和样本方差，则((n-1)S^2)/(sigma^2)sim chi^2(n-1)

8、设$X_{1},X_{2}\cdots X_{n}$是来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X},S^{2}$分别是样本均值和样本方差，则$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(n-1)$

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本方差 $S^2$ 定义为： \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \] 则统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 可表示为： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \] 根据正态总体样本方差的性质，该统计量服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即： \[ \boxed{\chi^2(n-1)} \]

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下样本方差的分布性质，以及卡方分布的定义与应用。

解题核心思路：

  1. 明确样本方差的定义：样本方差$S^2$是观测值与样本均值差的平方和除以自由度$n-1$。
  2. 构造统计量：将$(n-1)S^2$与$\sigma^2$结合，转化为平方和的形式。
  3. 应用卡方分布性质：正态总体中，标准化后的平方和服从卡方分布，自由度为$n-1$。

破题关键点：

  • 自由度的确定：使用样本均值$\overline{X}$代替总体均值$\mu$会导致自由度减少1。
  • 卡方分布的条件：仅当总体服从正态分布时，该统计量的卡方分布性质成立。

设总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本为$X_1, X_2, \cdots, X_n$，样本均值为$\overline{X}$，样本方差定义为：
$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$

构造统计量：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$

关键性质：
在正态总体中，标准化后的平方和$\sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \overline{X}}{\sigma} \right)^2$服从自由度为$n-1$的卡方分布。
这是因为：

  1. 独立性：标准化后的残差$\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}$是零均值的正态变量。
  2. 自由度：使用样本均值$\overline{X}$代替总体均值$\mu$，导致平方和的自由度为$n-1$。

因此，统计量$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从$\chi^2(n-1)$分布。