求极限lim _(xarrow 0)dfrac (4{x)^3-2(x)^2+x}(3{x)^2+2x} +x/x

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是0/0型不定式的处理技巧。需要学生掌握洛必达法则的应用条件，或通过因式分解简化分式的能力。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致分子分母均为0时，可考虑以下两种方法：

1. 因式分解：提取公因式$x$，约分后直接代入求极限。
2. 洛必达法则：验证条件后，对分子分母分别求导，再求极限。

破题关键点：

• 识别0/0型不定式，选择合适的方法简化计算。
• 验证洛必达法则的条件（分子分母在$x=0$处导数存在且分母导数不为0）。

方法一：因式分解法

1. 分解分子和分母：
   分子：$4x^3 - 2x^2 + x = x(4x^2 - 2x + 1)$
   分母：$3x^2 + 2x = x(3x + 2)$
2. 约分：
   原式化简为：
   $\frac{x(4x^2 - 2x + 1)}{x(3x + 2)} = \frac{4x^2 - 2x + 1}{3x + 2} \quad (x \neq 0)$
3. 代入$x=0$：
   $\frac{4(0)^2 - 2(0) + 1}{3(0) + 2} = \frac{1}{2}$

方法二：洛必达法则

1. 验证条件：
   • $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to 0} g(x) = 0$
   • $f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$，$g'(x) = 6x + 2$
   • $g'(0) = 2 \neq 0$，满足洛必达法则条件。
2. 应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{12x^2 - 4x + 1}{6x + 2}$
3. 代入$x=0$：
   $\frac{12(0)^2 - 4(0) + 1}{6(0) + 2} = \frac{1}{2}$