2.设x1,x2,···,xn是来自 Exp(λ)的样本,已知x为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_c5d3a2ac306dd97343a3708e9c039829.jpg/lambda 的无偏估计,试说明 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_c5d3a2ac306dd97343a3708e9c039829.jpg/overline (x) 是否为λ的无偏-|||-估计.

本题考查无偏估计的定义及指数分布样本均值的分布性质，关键是通过计算$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)$与$\lambda$是否相等来判断$\frac{1}{\overline{x}}$是否为$\lambda$的无偏估计。

步骤1：明确无偏估计的定义

若估计量$\hat{\theta}$满足$E(\hat{\theta})=\theta$，则称$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计。本题需验证$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)$是否等于$\lambda$。

步骤2：确定样本均值$\overline{x}$的分布

总体$X\sim\Exp(\lambda)$，其概率密度函数为$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$，均值$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差$\text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$。
对于样本$X_1,X_2,\dots,X_n$，样本均值$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，其分布为：
$\overline{x}\sim\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)$
即$\overline{x}$服从形状参数$n$、尺度参数$\frac{1}{\lambda}$的伽马分布，概率密度函数为：
$f_{\overline{x}}(t)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}t^{n-1}e^{-\lambda t}\quad(t>0)$

步骤3：计算$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)$

根据期望定义：
$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}\cdot f_{\overline{x}}(t)dt=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}\cdot\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}t^{n-1}e^{-\lambda t}dt$
化简被积函数：
$\frac{1}{t}\cdot t^{n-1}=t^{n-2}$
积分变为：
$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\int_{0}^{\infty}t^{n-2}e^{-\lambda t}dt$
积分$\int_{0}^{\infty}t^{n-2}e^{-\lambda t}dt$是伽马函数$\Gamma(n-1)$的$\frac{1}{\lambda^{n-1}}$倍（$\Gamma(k)=\int_{0}^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt$，缩放变量得$\int_{0}^{\infty}t^{k-1}e^{-\lambda t}dt=\frac{\Gamma(k)}{\lambda^k}$），代入得：
$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\cdot\frac{\Gamma(n-1)}{\lambda^{n-1}}=\frac{\lambda\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)}$
利用伽马函数性质$\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)$，则：
$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)=\frac{\lambda\Gamma(n-1)}{(n-1)\Gamma(n-1)}=\frac{\lambda}{n-1}$

步骤4：结论

由于$E\left(\frac{1}{\overline{x}}\right)=\frac{\lambda}{n-1}\neq\lambda$（$n\geq1$时$\frac{1}{n-1}\neq1$），故$\frac{1}{\overline{x}}$不是$\lambda$的无偏估计。