练习：某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取25只，设它们的寿命是相互独立的.求这25只元件的寿命的总和大于3500小时的概率.已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查400件，利用中心极限定理计算抽取产品中次品数在80与96之间的概率。Phi(1)=0.8413,Phi(2)=0.9772

问题1：
本题考查中心极限定理的应用。指数分布的均值和方差分别为$\mu$和$\mu^2$，总和的均值和方差可由独立同分布性质求出。通过中心极限定理将总和近似为正态分布，再计算标准化后的概率。

问题2：
本题考查二项分布的正态近似。次品数服从二项分布，利用中心极限定理近似为正态分布，需注意离散变量的连续性修正（但本题答案未体现修正，直接计算）。

问题1

确定均值与方差

每个元件寿命$X_i \sim \text{指数分布}(\mu=100)$，则：

• 均值：$E(X_i) = 100$
• 方差：$\text{Var}(X_i) = 100^2 = 10000$

总和$S = \sum_{i=1}^{25} X_i$，由独立性得：

• $E(S) = 25 \times 100 = 2500$
• $\text{Var}(S) = 25 \times 10000 = 250000$
• 标准差：$\sigma_S = \sqrt{250000} = 500$

应用中心极限定理

$S$近似服从$N(2500, 500^2)$，标准化后：
$P(S > 3500) = P\left(Z > \frac{3500 - 2500}{500}\right) = P(Z > 2)$
查标准正态分布表得：
$P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$

问题2

确定均值与方差

次品数$X \sim B(400, 0.2)$，则：

• 均值：$E(X) = 400 \times 0.2 = 80$
• 方差：$\text{Var}(X) = 400 \times 0.2 \times 0.8 = 64$
• 标准差：$\sigma_X = \sqrt{64} = 8$

应用中心极限定理

$X$近似服从$N(80, 64)$，标准化后：
$P(80 < X < 96) = P\left(0 < Z < \frac{96 - 80}{8}\right) = P(0 < Z < 2)$
查标准正态分布表得：
$P(0 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$