题目
求由曲面 =(x)^2+2(y)^2及 =(x)^2+2(y)^2所围成的立体的体积
求由曲面
及
所围成的立体的体积
及
所围成的立体的体积
题目解答
答案
解：
得
，则立体在xOy坐标面上的投影区域为
由二重积分的几何意义知立体的体积是两个曲顶柱体的体积差，两个曲顶分别是：
.
立体体积为
直角坐标转换成极坐标有
=6π
解析
步骤 1：确定立体的边界
曲面 $z={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 $z=6-2{x}^{2}-{y}^{2}$ 的交线由方程 ${x}^{2}+2{y}^{2}-(6-2{x}^{2}-{y}^{2})=0$ 确定，即 $3{x}^{2}+3{y}^{2}=6$，简化后得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=2$。这表示在 $xOy$ 平面上，立体的投影区域是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：计算体积
立体的体积是两个曲顶柱体的体积差，两个曲顶分别是：${z}_{1}={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 ${z}_{2}=6-2{x}^{2}-{y}^{2}$。因此，体积 $V$ 可以表示为 $V=$ $\int\int_{D} (6-2{x}^{2}-{y}^{2}-({x}^{2}+2{y}^{2}))dxdy$，其中 $D$ 是 ${x}^{2}+{y}^{2}\leq2$ 的区域。
步骤 3：转换为极坐标并计算
将直角坐标转换成极坐标，有 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，$V=$ $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} (6-3r^2)rdrd\theta$。计算积分得到 $V=6\pi$。
曲面 $z={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 $z=6-2{x}^{2}-{y}^{2}$ 的交线由方程 ${x}^{2}+2{y}^{2}-(6-2{x}^{2}-{y}^{2})=0$ 确定，即 $3{x}^{2}+3{y}^{2}=6$，简化后得到 ${x}^{2}+{y}^{2}=2$。这表示在 $xOy$ 平面上，立体的投影区域是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：计算体积
立体的体积是两个曲顶柱体的体积差，两个曲顶分别是：${z}_{1}={x}^{2}+2{y}^{2}$ 和 ${z}_{2}=6-2{x}^{2}-{y}^{2}$。因此，体积 $V$ 可以表示为 $V=$ $\int\int_{D} (6-2{x}^{2}-{y}^{2}-({x}^{2}+2{y}^{2}))dxdy$，其中 $D$ 是 ${x}^{2}+{y}^{2}\leq2$ 的区域。
步骤 3：转换为极坐标并计算
将直角坐标转换成极坐标，有 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，$V=$ $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} (6-3r^2)rdrd\theta$。计算积分得到 $V=6\pi$。