题目
3.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为-|||-(x,y)=A(B+arctan dfrac (x)(2))(C+arctan dfrac (y)(3)),-|||-求:(1)A,B,C的值;(2)f(x,y);(3)fx (x),fy(y).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定A, B, C的值
由于分布函数$F(x,y)$在$(x,y)$趋于无穷时应等于1，我们可以利用这个性质来确定A, B, C的值。当$x$和$y$都趋于无穷时，$\arctan \dfrac{x}{2}$和$\arctan \dfrac{y}{3}$都趋于$\dfrac{\pi}{2}$。因此，$F(x,y)$趋于$A(B+\dfrac{\pi}{2})(C+\dfrac{\pi}{2})$。由于$F(x,y)$在$(x,y)$趋于无穷时应等于1，我们有$A(B+\dfrac{\pi}{2})(C+\dfrac{\pi}{2})=1$。由于$\arctan$函数的值域是$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$，我们可以推断出$B$和$C$的值为$\dfrac{\pi}{2}$，从而$A=\dfrac{1}{{\pi}^{2}}$。
步骤 2：求解f(x,y)
分布函数$F(x,y)$的偏导数$f(x,y)$是联合概率密度函数。因此，我们对$F(x,y)$关于$x$和$y$分别求偏导数。$f(x,y)=\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$。将$F(x,y)$的表达式代入，我们得到$f(x,y)=\dfrac{6}{{x}^{2}(4+{x}^{2})(9+{y}^{2})}$，$-\infty \lt x,y\lt +\infty$。
步骤 3：求解fx(x)和fy(y)
边缘概率密度函数可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$关于另一个变量积分得到。因此，$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。将$f(x,y)$的表达式代入，我们得到$f_x(x)=\dfrac{2}{\pi (4+{x}^{2})}$，$-\infty \lt x\lt +\infty$，$f_y(y)=\dfrac{3}{\pi (9+{y}^{2})}$，$-\infty \lt y\lt +\infty$。
由于分布函数$F(x,y)$在$(x,y)$趋于无穷时应等于1，我们可以利用这个性质来确定A, B, C的值。当$x$和$y$都趋于无穷时，$\arctan \dfrac{x}{2}$和$\arctan \dfrac{y}{3}$都趋于$\dfrac{\pi}{2}$。因此，$F(x,y)$趋于$A(B+\dfrac{\pi}{2})(C+\dfrac{\pi}{2})$。由于$F(x,y)$在$(x,y)$趋于无穷时应等于1，我们有$A(B+\dfrac{\pi}{2})(C+\dfrac{\pi}{2})=1$。由于$\arctan$函数的值域是$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$，我们可以推断出$B$和$C$的值为$\dfrac{\pi}{2}$，从而$A=\dfrac{1}{{\pi}^{2}}$。
步骤 2：求解f(x,y)
分布函数$F(x,y)$的偏导数$f(x,y)$是联合概率密度函数。因此，我们对$F(x,y)$关于$x$和$y$分别求偏导数。$f(x,y)=\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$。将$F(x,y)$的表达式代入，我们得到$f(x,y)=\dfrac{6}{{x}^{2}(4+{x}^{2})(9+{y}^{2})}$，$-\infty \lt x,y\lt +\infty$。
步骤 3：求解fx(x)和fy(y)
边缘概率密度函数可以通过对联合概率密度函数$f(x,y)$关于另一个变量积分得到。因此，$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。将$f(x,y)$的表达式代入，我们得到$f_x(x)=\dfrac{2}{\pi (4+{x}^{2})}$，$-\infty \lt x\lt +\infty$，$f_y(y)=\dfrac{3}{\pi (9+{y}^{2})}$，$-\infty \lt y\lt +\infty$。