2.设函数f(x)=(e^x-1)/(x)，若当x→0时，f(x)-lim_(xto0)f(x)是ax^k的等价无穷小，则a,k的值依次为（）A. 2,1B. 1,2C. (1)/(2),1D. (1)/(2),2

考查要点：本题主要考查极限的计算、泰勒展开的应用以及等价无穷小的判断。关键在于理解当$x \to 0$时，函数$f(x)$与其极限值的差值与$ax^k$的等价关系。

解题核心思路：

1. 计算$f(x)$的极限值，确定基准量；
2. 展开$f(x) - \lim_{x \to 0} f(x)$，利用泰勒展开化简表达式；
3. 比较差值与$ax^k$的主部，确定$a$和$k$的值。

破题关键点：

• 泰勒展开是化简分子$e^x - 1 - x$的关键，需展开到二次项以提取主部；
• 等价无穷小的定义要求差值与$ax^k$的比值在$x \to 0$时趋近于1。

步骤1：计算极限$\lim_{x \to 0} f(x)$

当$x \to 0$时，分子$e^x - 1 \sim x$（泰勒展开一次项），因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.$

步骤2：展开$f(x) - 1$

差值为：
$f(x) - 1 = \frac{e^x - 1}{x} - 1 = \frac{e^x - 1 - x}{x}.$

步骤3：泰勒展开$e^x$

将$e^x$展开到二次项：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).$
代入分子：
$e^x - 1 - x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2).$

步骤4：化简差值

将分子代入差值表达式：
$f(x) - 1 = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = \frac{x}{2} + o(x).$

步骤5：比较等价无穷小

当$x \to 0$时，$\frac{x}{2} + o(x) \sim \frac{x}{2}$，因此：
$f(x) - 1 \sim \frac{1}{2} x^1.$
由此得$a = \frac{1}{2}$，$k = 1$。