题目

有一正态分布36,9)，已知36,9)，则其分布中间有99%观察值的全距为________。

有一正态分布 $N(36,9)$ ，已知 $U_{0.01}=2.58$ ，则其分布中间有99%观察值的全距为________。

题目解答

答案

$X\sim N(36,9)$ 表示X服从均值 $\mu=36$ ，标准差 $\sigma=\sqrt{9}=3$ 的正态分布，

设 $P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<a\right)=2\Phi\left(a\right)-1=0.99$ ，则 $\Phi\left(a\right)=0.995\approx\Phi\left(2.58\right)$ ，则 $a=2.58$ ，则 $\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<2.58$ ，则

$\mu-2.58\sigma<X<\mu+2.58\sigma$ ，

则将均值和标准差代入可得 $36-2.58\times3<X<36+2.58\times3$ ， $28.26<X<43.74$ ，

则全距为 $43.74-28.26=15.48$ .

解析

步骤 1：确定正态分布的参数
已知正态分布为$N(36,9)$，表示随机变量$X$服从均值$\mu =36$，方差$\sigma^2=9$的正态分布。因此，标准差$\sigma =\sqrt{9}=3$。

步骤 2：确定99%观察值的范围
已知${U}_{0.01}=2.58$，表示在标准正态分布中，99%的观察值落在均值$\mu$的两侧，距离均值$\mu$不超过$2.58\sigma$。因此，99%的观察值落在区间$(\mu -2.58\sigma, \mu +2.58\sigma)$内。

步骤 3：计算全距
将均值$\mu =36$和标准差$\sigma =3$代入区间$(\mu -2.58\sigma, \mu +2.58\sigma)$，得到$(36-2.58\times3, 36+2.58\times3)$，即$(28.26, 43.74)$。全距为$43.74-28.26=15.48$。