题目
20.填空题已知X~t(n)，则X^2~____.
20.填空题
已知X~t(n)，则X$^{2}$~____.
题目解答
答案
设 $X \sim t(n)$，则 $X$ 可表示为 $X = \frac{U}{\sqrt{V/n}}$，其中 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 独立。平方后得：
\[ X^2 = \frac{U^2}{V/n} \]
由于 $U^2 \sim \chi^2(1)$，根据 $F$ 分布定义（分子为 $\chi^2(1)/1$，分母为 $\chi^2(n)/n$），知 $X^2 \sim F(1,n)$。
答案：$\boxed{F(1,n)}$
解析
步骤 1：定义 t 分布
设 $X \sim t(n)$，则 $X$ 可表示为 $X = \frac{U}{\sqrt{V/n}}$，其中 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 独立。
步骤 2：平方 t 分布
平方后得：\[ X^2 = \frac{U^2}{V/n} \]
步骤 3：确定分布类型
由于 $U^2 \sim \chi^2(1)$，根据 $F$ 分布定义（分子为 $\chi^2(1)/1$，分母为 $\chi^2(n)/n$），知 $X^2 \sim F(1,n)$。
设 $X \sim t(n)$，则 $X$ 可表示为 $X = \frac{U}{\sqrt{V/n}}$，其中 $U \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(n)$，且 $U$ 与 $V$ 独立。
步骤 2：平方 t 分布
平方后得：\[ X^2 = \frac{U^2}{V/n} \]
步骤 3：确定分布类型
由于 $U^2 \sim \chi^2(1)$，根据 $F$ 分布定义（分子为 $\chi^2(1)/1$，分母为 $\chi^2(n)/n$），知 $X^2 \sim F(1,n)$。