13. (5.0分) 设随机变量Xsim P(lambda)，已知P(X=1)=P(X=2)，则P(X=4)=?A. (1)/(3)e^2B. (1)/(3)e^-2C. (2)/(3)e^2D. (2)/(3)e^-2

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率质量函数及其应用，以及根据已知条件求解参数λ的能力。

解题核心思路：

1. 利用泊松分布公式，将已知条件$P(X=1)=P(X=2)$转化为关于λ的方程。
2. 解方程求出λ，注意泊松分布参数λ的取值范围（λ>0）。
3. 代入λ的值，计算$P(X=4)$的值并匹配选项。

破题关键点：

• 正确写出泊松分布的公式，并正确代入k=1和k=2的情况。
• 通过方程化简求解λ，注意排除不符合条件的解。
• 准确计算阶乘和指数表达式，避免计算错误。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$

步骤1：根据条件列方程
由$P(X=1) = P(X=2)$，代入公式得：
$\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$

步骤2：化简方程求λ
两边约去$e^{-\lambda}$后整理得：
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \implies \lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0$
因$\lambda > 0$，故$\lambda = 2$。

步骤3：计算$P(X=4)$
将$\lambda = 2$代入公式：
$P(X=4) = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2 e^{-2}}{3}$