(2018·天津卷改编)已知a=log2e,b=ln 2,c=log,则a,b,c的大小关系为________.解析 法一 因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log=log23>log2e=a>1,所以c>a>b.法二 log=log23,如图,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,由图知c>a>b.答案 c>a>b考点一 对数的运算[例1] (1)设2a=5b=m,且+=2,则m=________;(2)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则________(填序号).①2x<3y<5z; ②5z<2x<3y;③3y<5z<2x; ④3y<2x<5z.(3)(2018·淮阴中学期中)求值:27-()2-2log23×log2+log23×log34.解析 (1)由已知得a=log2m,b=log5m,则+=+=logm2+logm5=logm10=2.解得m=.(2)令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1.则x=log2t=,同理,y=,z=.∴2x-3y=-==>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=-==<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.答案 (1) (2)④(3)解 27-()2-2log23×log2+log23×log34=(33)-(-5)2-3×log22－3+×=9-25-3×(-3)+2=-5.规律方法 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.[训练1] (1)(2018·无锡期末)已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为________.(2)(2019·苏州调研)已知4a=2,logax=2a,则正实数x=________.解析 (1)因为3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)=23＋log23=8×2log23=24.(2)由4a=2得a=,则logx=1,解得x=.答案 (1)24 (2)考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为________.(2)(2019·苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.解析 (1)由题设可得即化简可得xB=2,logaxB=2,所以a2=2,故a=(负值舍去).(2)如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴上截距.由图可知,当a>1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.答案 (1) (2)(1,+∞)规律方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.对数函数的图象在x轴上方,底数a越大,图象越靠近x轴.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[训练2] (1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是________(填序号).(2)(2018·宿迁模拟)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是________.解析 (1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除①,②;又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除④.(2)由题意得,当0<a<1时,要使得4x<logax,即当0<x≤时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方.又当x=时,4=2,即函数y=4x的图象过点.把点代入y=logax,得a=.若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需<a<1(如图所示).当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是.答案 (1)③ (2)考点三 对数函数的性质及应用角度1 比较大小[例3-1] (1)(2018·天津卷改编)已知a=log3 ,b=,c=log ,则a,b,c的大小关系为________.(2)若a>b>0,0<c<1,则________(填序号).①logac<logbc; ②logca<logcb;③ac<bc; ④ca>cb.解析 (1)log =log3－15－1=log35,因为函数y=log3x为增函数,所以log35>log3 >log33=1,因为函数y=为减函数,所以<=1,故c>a>b.(2)由y=xc与y=cx的单调性知,③④不正确;∵y=logcx是减函数,得logca<logcb,②正确;logac=,logbc=,∵0<c<1,∴lg c<0.又a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b的正负,∴logac与logbc的大小不能确定.答案 (1)c>a>b (2)②角度2 解不等式[例3-2] 求不等式的解集:(1)33－x<2;(2)log5(x-1)<.解 (1)33－x<2,∴33－x<3log32,∴3-x<log32,∴x>3-log32,解集为(3-log32,+∞).(2)log5(x-1)<,∴log5(x-1)<log5.∴0<x-1<,∴1<x<+1,解集为(1,+1).角度3 对数型函数的性质[例3-3] (2018·仪征中学高三期初检测)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=1时,解不等式f(x)>1;(2)若关于x的方程f(x)+log2x2=0有且仅有一解,求a的值;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,由log2>1,得+1>2,解得0<x<1.故不等式的解集为(x|0<x<1).(2)log2+log2x2=0有且仅有一解,等价于x2=1有且仅有一解,等价于ax2+x-1=0有且仅有一解.当a=0时,x=1,符合题意;当a≠0时,Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,a=0或-.(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减.故函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).则f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1,即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,所以t=时,y有最小值a-,由a-≥0得a≥.故a的取值范围为.规律方法 (1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.[训练3] (1)设a=log32,b=log52,c=log23,则a,b,c的大小关系是________.(2)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.解析 (1)a=log32<log33=1,b=log52<log55=1,又c=log23>log22=1,所以c最大.由1<log23<log25,得>,即a>b,所以c>a>b.(2)当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1,解之得1<a<.若0<a<1时,f(x)在[1,2]上是增函数,>1在区间[1,2]上恒成立,( )