题目
7-1 (原7.1题)-|||-试根据公式 =-sum _(i)^1=dfrac (5{e)_(1)}(dv) 证明,对于非相对论粒子-|||-varepsilon =dfrac ({p)^2}(2m)=dfrac (1)(2m)((dfrac {2pi h)(L))}^2(({n)_(x)}^2+({n)_(y)}^2+({n)_(2)}^2)-|||-((n)_(x),(n)_(y),(n)_(z)=0,pm 1,pm 2,... ),-|||-有-|||-=dfrac (2)(3)dfrac (U)(V).-|||-上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定非相对论粒子的能量本征值
非相对论粒子的能量本征值为 $\varepsilon =\dfrac {{p}^{2}}{2m}=\dfrac {1}{2m}{(\dfrac {2\pi h}{L})}^{2}({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2})$ , 其中 $({n}_{x},{n}_{y},{n}_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 代表粒子的量子数。
步骤 2：简化能量本征值表达式
为简化书写，将能量本征值表达式简记为 ${\varepsilon }_{1}=a{v}^{-\dfrac {2}{3}}$ , 其中 $V={L}^{3}$ 是系统的体积，常量 $a=\dfrac {{(2\pi h)}^{2}}{2m}({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2})$ , 并以单一指标l代表nx, n,,n,三个量子数。
步骤 3：计算能量对体积的偏导数
由式(2)可得 $\dfrac {\partial {e}_{1}}{\partial v}=-\dfrac {2}{3}a{v}^{-\dfrac {5}{3}}=-\dfrac {2}{3}\dfrac {{e}_{1}}{v}$ 。
步骤 4：代入压强公式
代入压强公式 $p=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}\dfrac {d{e}_{1}}{dv}$ , 有 $p=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}\dfrac {d{e}_{1}}{dv}=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}(-\dfrac {2}{3}\dfrac {{e}_{1}}{v})=\dfrac {2}{3}\dfrac {U}{V}$ , 其中 $U=\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}{e}_{1}$ 是系统的内能。
步骤 5：验证结论的普遍性
上述证明未涉及分布{a1}的具体表达式，因此式(4)对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
非相对论粒子的能量本征值为 $\varepsilon =\dfrac {{p}^{2}}{2m}=\dfrac {1}{2m}{(\dfrac {2\pi h}{L})}^{2}({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2})$ , 其中 $({n}_{x},{n}_{y},{n}_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 代表粒子的量子数。
步骤 2：简化能量本征值表达式
为简化书写，将能量本征值表达式简记为 ${\varepsilon }_{1}=a{v}^{-\dfrac {2}{3}}$ , 其中 $V={L}^{3}$ 是系统的体积，常量 $a=\dfrac {{(2\pi h)}^{2}}{2m}({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2})$ , 并以单一指标l代表nx, n,,n,三个量子数。
步骤 3：计算能量对体积的偏导数
由式(2)可得 $\dfrac {\partial {e}_{1}}{\partial v}=-\dfrac {2}{3}a{v}^{-\dfrac {5}{3}}=-\dfrac {2}{3}\dfrac {{e}_{1}}{v}$ 。
步骤 4：代入压强公式
代入压强公式 $p=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}\dfrac {d{e}_{1}}{dv}$ , 有 $p=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}\dfrac {d{e}_{1}}{dv}=-\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}(-\dfrac {2}{3}\dfrac {{e}_{1}}{v})=\dfrac {2}{3}\dfrac {U}{V}$ , 其中 $U=\sum _{i=1}^{5}{a}_{i}{e}_{1}$ 是系统的内能。
步骤 5：验证结论的普遍性
上述证明未涉及分布{a1}的具体表达式，因此式(4)对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。