(19)(本题满分10分)已知y_(1)(x)=e^x,y_(2)(x)=u(x)e^x是二阶微分方程(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0的两个解.若u(-1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解.

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程的解的结构及通解求法，涉及参数变易法的应用，以及通过初始条件确定特解。

解题核心思路：

1. 代入已知解：将$y_2(x)=u(x)e^x$代入原微分方程，化简得到关于$u(x)$的微分方程。
2. 变量替换降阶：通过令$v=u'$，将二阶方程转化为一阶线性微分方程，求解$v(x)$。
3. 积分求特解：对$v(x)$积分得到$u(x)$，利用初始条件$u(-1)=e$和$u(0)=-1$确定积分常数。
4. 构造通解：结合已知解$y_1(x)=e^x$和求得的$y_2(x)=u(x)e^x$，写出通解。

破题关键点：

• 化简方程：正确代入$y_2(x)$并化简，得到关于$u''$和$u'$的方程。
• 变量替换：通过$v=u'$将方程降阶，转化为可分离变量的一阶方程。
• 积分与初始条件：正确积分并代入初始条件确定常数。

将$y_2(x)=u(x)e^x$代入原方程：

1. 计算导数：

   • $y_2' = e^x(u' + u)$
   • $y_2'' = e^x(u'' + 2u' + u)$

2. 代入方程：
   $(2x-1)e^x(u'' + 2u' + u) - (2x+1)e^x(u' + u) + 2u e^x = 0$
   两边除以$e^x$后化简得：
   $(2x-1)u'' + (2x-3)u' = 0$

3. 变量替换：
   令$v = u'$，则方程变为：
   $(2x-1)v' + (2x-3)v = 0$
   分离变量得：
   $\frac{v'}{v} = -\frac{2x-3}{2x-1}$

4. 积分求$v$：
   积分得：
   $\ln|v| = -x + \ln|2x-1| + C$
   即：
   $v = C(2x-1)e^{-x}$

5. 积分求$u(x)$：
   对$v$积分：
   $u(x) = -C(2x+1)e^{-x} + D$

6. 代入初始条件：

   • $u(-1)=e$：$C e + D = e$
   • $u(0)=-1$：$-C + D = -1$
     解得$C=1$，$D=0$，故：
     $u(x) = -(2x+1)e^{-x}$

7. 通解构造：
   原方程的通解为：
   $y(x) = C_1 e^x + C_2 y_2(x) = C_1 e^x - C_2(2x+1)$