[题目]设x1,x2,··, _(n)(ngt 2) 为来自总体N(0,1)-|||-的简单随机样本,x为样本均值,记 _(i)=(X)_(i)-overline (X),-|||-i=1, 2 ,···,n,-|||-求:(1)Y1的方差DY1, i=1, 2,···,n}-|||-(Ⅱ)y1与yn的协方差Cov(Y1,Yn)

考查要点：本题主要考查样本均值的性质、协方差与方差的计算，以及随机变量线性组合的方差计算。

解题思路：

1. DY₁的计算：将Y₁表示为X₁与样本均值的差，利用方差公式展开，注意处理X₁与样本均值的相关性。
2. Cov(Y₁,Yₙ)的计算：通过协方差定义展开，结合样本独立性简化表达式，特别注意样本均值的性质对协方差的影响。

关键点：

• 样本均值的方差：Var(̄X) = 1/n。
• 协方差性质：Cov(X₁, ̄X) = 1/n。
• 独立变量的协方差：若X₁与Xₙ独立，则Cov(X₁,Xₙ)=0。

(l) DY₁的计算

表达式展开

Y₁ = X₁ - ̄X，其中̄X = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n。

方差公式

$\begin{aligned}DY₁ &= D(X₁ - \overline{X}) \\&= D\left(X₁ - \frac{1}{n}X₁ - \frac{1}{n}\sum_{j=2}^n X_j\right) \\&= D\left(\frac{n-1}{n}X₁ - \frac{1}{n}\sum_{j=2}^n X_j\right).\end{aligned}$

方差分解

由于X₁与Xⱼ（j≠1）独立：
$\begin{aligned}DY₁ &= \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 D(X₁) + \frac{1}{n^2} \sum_{j=2}^n D(X_j) \\&= \frac{(n-1)^2}{n^2} \cdot 1 + \frac{1}{n^2} \cdot (n-1) \\&= \frac{n-1}{n}.\end{aligned}$

(ll) Cov(Y₁,Yₙ)的计算

协方差展开

$\begin{aligned}Cov(Y₁,Yₙ) &= E[(Y₁ - EY₁)(Yₙ - EYₙ)] \\&= E[(X₁ - \overline{X})(Xₙ - \overline{X})] \\&= E[X₁Xₙ - X₁\overline{X} - Xₙ\overline{X} + \overline{X}^2].\end{aligned}$

逐项计算

1. E[X₁Xₙ]：X₁与Xₙ独立，故E[X₁Xₙ] = E[X₁]E[Xₙ] = 0。
2. E[X₁̄X]：
   $\begin{aligned} E[X₁\overline{X}] &= E\left[X₁ \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right] \\ &= \frac{1}{n}E[X₁^2] + \frac{1}{n}\sum_{j≠1}E[X₁X_j] \\ &= \frac{1}{n} \cdot 1 + 0 = \frac{1}{n}. \end{aligned}$
3. E[Xₙ̄X]：同理，E[Xₙ̄X] = 1/n。
4. E[̄X²]：
   $E[\overline{X}^2] = Var(\overline{X}) + (E\overline{X})^2 = \frac{1}{n} + 0 = \frac{1}{n}.$

合并结果

$Cov(Y₁,Yₙ) = 0 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}.$