设X_(1),X_(2),...,X_(10)是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本，则统计量Y=(1)/(4)(sum_(i=1)^4X_(i))^2+(1)/(6)(sum_(i=5)^10X_(i))^2服从的分布为（）A. N(0,2)B. N(0,10)C. X^2(2)D. X^2(10)

本题主要考察正态分布的性质、卡方分布的定义及随机变量的标准化转化，具体思路如下：

步骤1：分析子样本和的分布

题目中$X_1,X_2,\cdots,X_{10}$是来自$N(0,1)$的简单随机样本，因此每个$X_i\sim N(0,1)$且相互独立。

• 前4个变量的和：$A=\sum_{i=1}^4 X_i$，由于独立正态变量的和仍为正态分布，且均值为$0$，方差为$4$（每个$X_i$方差为1，4个变量方差相加），故$A\sim N(0,4)$。
• 后6个变量的和：$B=\sum_{i=5}^{10} X_i$，同理，均值为$0$，方差为$6$，故$B\sim N(0,6)$。

步骤2：标准化转化为标准正态变量

卡方分布的定义是：若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim\chi^2(1)$（自由度为1的卡方分布）。

• 对$A$标准化：$Z_1=\frac{A}{\sqrt{4}}=\frac{A}{2}\sim N(0,1)$，则$Z_1^2=\left(\frac{A}{2}\right)^2=\frac{A^2}{4}$。
• 对$B$标准化：$Z_2=\frac{B}{\sqrt{6}}\sim N(0,1)$，则$Z_2^2=\left(\frac{B}{\sqrt{6}}\right)^2=\frac{B^2}{6}$。

步骤3：统计量$Y$的分布

题目中$Y=\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{6}B^2$，代入上述标准化结果得：
$Y=Z_1^2+Z_2^2$。

由于$Z_1$和$Z_2$是独立的标准正态变量（样本独立导致$A$和$B$独立，进而$Z_1$和$Z_2$独立），根据卡方分布的可加性：独立的$\chi^2(k_1)$和$\chi^2(k_2)$之和服从$\chi^2(k_1+k_2)$，故$Y\sim\chi^2(1+1)=\chi^2(2)$。