题目

4.设随机变量X~N(3,4)，标准正态分布的分布函数记为Φ(x)，则P(1≤X≤5)=().

4.设随机变量X~N(3,4)，标准正态分布的分布函数记为Φ(x)，则P{1≤X≤5}=().

题目解答

答案

为了求解 $ P\{1 \leq X \leq 5\} $ 其中 $ X \sim N(3, 4) $，我们需要将 $ X $ 转换为标准正态变量 $ Z $。标准正态变量 $ Z $ 的定义为 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，其中 $ \mu $ 是 $ X $ 的均值， $ \sigma $ 是 $ X $ 的标准差。对于 $ X \sim N(3, 4) $，我们有 $ \mu = 3 $ 和 $ \sigma = \sqrt{4} = 2 $。 首先，将 $ X = 1 $ 和 $ X = 5 $ 转换为标准正态变量 $ Z $： \[ Z_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ Z_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 现在，我们需要求 $ P\{-1 \leq Z \leq 1\} $。根据标准正态分布的分布函数 $ \Phi(x) $，我们有： \[ P\{-1 \leq Z \leq 1\} = \Phi(1) - \Phi(-1) \] 由于标准正态分布是关于0对称的，所以 $ \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) $。因此： \[ P\{-1 \leq Z \leq 1\} = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1 \] 从标准正态分布表中，我们可以找到 $ \Phi(1) \approx 0.8413 $。代入这个值，我们得到： \[ P\{-1 \leq Z \leq 1\} = 2 \times 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826 \] 因此， $ P\{1 \leq X \leq 5\} $ 的值是 $\boxed{0.6826}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布函数的应用。

解题核心思路：

  1. 标准化变换：将一般正态分布转化为标准正态分布，利用已知的标准正态分布表计算概率。
  2. 对称性应用：利用标准正态分布的对称性简化计算，避免重复查表。

破题关键点：

  • 正确计算标准化后的Z值，明确均值μ和标准差σ的取值。
  • 理解Φ(x)的定义，即P(Z ≤ x)，并能通过Φ(1)和Φ(-1)的关系简化表达式。

步骤1：确定正态分布参数
已知X ~ N(3, 4)，即均值μ = 3，方差σ² = 4，因此标准差σ = √4 = 2。

步骤2：标准化变换
将X的边界值1和5转换为标准正态变量Z：

  • 当X = 1时，
    $Z_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$
  • 当X = 5时，
    $Z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$

步骤3：计算区间概率
目标转化为求P(-1 ≤ Z ≤ 1)，根据标准正态分布函数Φ(x)：
$P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)$

步骤4：利用对称性简化
由于Φ(-1) = 1 - Φ(1)，代入得：
$\Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$

步骤5：查表计算
查标准正态分布表得Φ(1) ≈ 0.8413，代入计算：
$2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$